Argumentum epsilon-delta

Argumentum epsilon-delta est definitio limitis, in mathematica. Definitio dicit:

$\lim _{x\rightarrow a}f(x)=b$ significat

$\forall \epsilon >0\exists \delta >0\ {\text{ut}}\ 0<|x-a|<\delta \Rightarrow |f(x)-b|<\epsilon$

Hoc est, si vis valorem f(x) esse prope quantitatem b, modo elege valorem x qui sit satis prope valorem a.

Exempli gratia, quid sit $\lim _{x\rightarrow 2}x^{2}$ rogamus. Estne 4? Si $|x^{2}-4|<\epsilon$, deinde scimus vel $(x^{2}-4)<\epsilon$ (si x² > 4) vel $(4-x^{2})<\epsilon$ (si x² < 4).

Casus primus: si $x^{2}-4<\epsilon$, deinde $(x+2)(x-2)<\epsilon$, et $x-2<{\frac {\epsilon }{x+2}}$. (Quod x est prope 2, licet dicere x + 2 > 0.) Et, si x² > 4, scimus x > 2.

Casus alter: si $4-x^{2}<\epsilon$, deinde $(2+x)(2-x)<\epsilon$, tum $2-x<{\frac {\epsilon }{2+x}}$, hoc est $-(x-2)<{\frac {\epsilon }{x+2}}$, et hic est casus ubi x < 2.

Habemus ergo: $|x-2|<{\frac {\epsilon }{x+2}}$, quod est δ. Si vis x² esse proximum 4, igitur, valorem x elege sicut quantitas δ est satis parva. Si vis habere x² inter 3.99 et 4.01, ε = 0.01. Tum $2-x<{\frac {\epsilon }{x+2}}={\frac {0.01}{x+2}}<x-2$. Si x = 2.1, ${\frac {0.01}{x+2}}=1/410$, et $x^{2}\approx 4.0098$, ut voluisti. Et limes est 4.

Functio dicitur continua si, omnibus x in eius dominio, $\lim _{x\rightarrow a}=f(a)$.

Nexus interni

• Carolus Weierstraß
• Epsilon
• Delta