Functio inversa

Functio inversa est functio, qua variabili dependenti unius functionis dato huius variabile independens reperitur. Si functio $f(x)$ data est, $f^{-1}(x)$ eius functio inversa designat. Non omnes functiones etiam functionem inversam habent, sed solum relationem inversam, quod definitione functionum necesse non est relationem inversam functionis etiam functionem esse. Solis functionibus biiectivis functio inversa est. Si g est functio inversa functionis f, tunc etiam f est functio inversa g: $f^{-1}(x)=g(x)\leftrightarrow g^{-1}(x)=f(x)$ , dummodo f(x) et g(x) definiuntur.

Omnes functiones elementis unius copiae (quae dominium dicitur) elementa alterius copiae (quae est codominium) attribuunt. Dominium functionis cuiusdam est codominium functionis inversae. Functione cognita admodum facile unius variabilis liberae variabile non libera reperiri potest.

Aliquot exempla

Functiones lineares

Omnibus functionibus linearibus, praeter constantes, functio inversa est, nam harum aequatio ita transformari potest:

$f(x)=k\cdot x+d$ ,

ergo $f(x)-d=k\cdot x$ ,

ergo $x={\frac {f(x)-d}{k}}$ .

Functio inversa functionis linearis semper etiam functio linearis $f^{-1}(x)={\frac {1}{k}}\cdot x-{\frac {d}{k}}$ est. Exempli gratia, si $f(x)=2\cdot x+1$ , $f(1)=3$ . Functio inversa est $f^{-1}(x)={\frac {1}{2}}\cdot x-{\frac {1}{2}}$ , et re vera $f^{-1}(3)={\frac {3}{2}}-{\frac {1}{2}}=1$ .

Functiones exponentiales

Omnes functiones exponentiales formae $f(x)=x^{n};n\in \mathbb {N} =\{1,2,3,\ldots \}$ functionem inversam habent, namque radicem ${\sqrt[{n\,}]{x}}$ , sed solum variabilibus independentibus positivis, quod radix numeri negativi (si n numerus impar) definita non est aut variabilia independentia negativa variabilia dependentia positiva et haec variabilium independentium positivorum aequantes (si n numerus par) dant.

Functionis $f(x)=x^{3}$ , exempli gratia, functio inversa ergo $f(x)={\sqrt[{3\,}]{x}}$ est.

Functiones exponentiales generalis

Functionibus exponentialibus generalibus ( $f(x)=a^{x};a\in \mathbb {R} ^{+}$ ) etiam semper functio inversa est: logarithmus ad basim a.

Igitur $f(x)=\log _{2}(x)$ inversa functionis $f(x)=2^{x}$ est.

Nexus interni

Functiones trigonometricae inversae

Bibliographia

Anton, Howard. Calculus with Analytical Geometry. Chichester: Wiley, 1980.
Hardy, G. H. A Course of Pure Mathematics, ed. 10. Cantabrigiae: Cambridge University Press, 1952.

Nexus externi

Vicimedia Communia plura habent quae ad functiones inversas spectant.

Inverse function, apud Wolfram MathWorld