Numerus transcendens

Numerus transcendens vel transcendentalis est numerus realis vel complexus qui algebraicus non est.

Systemata Numerica Mathematicae

Numeri Elementarii
Naturales $\mathbb {N}$ {0,1,2,3,...} sive {1,2,3,...} Primi $\mathbb {P}$ {2,3,5,7,11,...} Abundantes Amicabiles Compositi Defectivi Perfecti Sociabiles Integri $\mathbb {Z}$ {...,-2,-1,0,+1,+2,...} Pares {...,-2,0,+2,...} Impares {...,-3,-1,+1,+3,...} Rationales $\mathbb {Q}$ Reales $\mathbb {R}$ Irrationales Complexi ℂ Algebraici Transcendentes Numerus pi $\pi =3.14159265358979\ldots$ Numerus Euleri $e=2.718281828459045\ldots$ Numerus imaginarius $i={\sqrt {-1}}$ Quaterni $\mathbb {H}$ Octoni $\mathbb {O}$ Infinitas $\infty$
Variae radices
Radix binaria(2) Radix octalis(8) Radix decimalis(10) Radix sedecimalis(16)

Sit $x\in \mathbb {R}$ numerus transcendens. Tunc nullus est $n\in \mathbb {N} \setminus \lbrace 0\rbrace$ et nulli sunt $a_{i}\in \mathbb {Q} \ (0\leq i\leq n-1)$, ut $\sum _{i=0}^{n-1}{a_{i}\cdot x^{i}}+x^{n}=0$ sit.

Confirmatum est certos numeros transcendentes esse possunt per argumenta anno millesimo octigentesimo quadragesimo quarto ab Iosepho Liouville facta, qui genus numerorum transcendentum (Liouville numeri) construxit; inter his Liouville constans est:

$\sum _{k=1}^{\infty }10^{-k!}=0,110001000000000000000001000\ldots$

Exempla:

• Numeri π et e et omnes numeri cum eis multiplicati sunt transcendentes (ad demonstrationem videndam).

Functio transcendentalis est functio quae non est algebraica; functio algebraica est polynomium vel ratio polynomiorum vel alia functio ex potestatibus rationalibus facta. Functiones exponentialis, logarithmetica, trigonometricae, hyperbolicae et gamma sunt exempla. Si $f(x)$ est functio algebraica, et x est numerus algebraicus, tunc valor $y=f(x)$ est numerus algebraicus; si x est numerus transcendentalis, f(x) potest etiam transcendentalis esse. Attamen si $f(x)$ est functio transcendentalis, $y=f(x)$ potest numerus transcendentalis vel numerus algebraicus esse: sin(π) = 1 (x est numerus transcendentalis, y est numerus algebraicus), et sin(1) ≈ .8414709848 (x est numerus algebraicus, y est numerus transcendentalis). Omnes numeri transcendentes sunt irrationales.