Numerus primus

Systemata Numerica Mathematicae

Numeri Elementarii
Naturales $\mathbb {N}$ {0,1,2,3,...} sive {1,2,3,...} Primi $\mathbb {P}$ {2,3,5,7,11,...} Abundantes Amicabiles Compositi Defectivi Perfecti Sociabiles Integri $\mathbb {Z}$ {...,-2,-1,0,+1,+2,...} Pares {...,-2,0,+2,...} Impares {...,-3,-1,+1,+3,...} Rationales $\mathbb {Q}$ Reales $\mathbb {R}$ Irrationales Complexi ℂ Algebraici Transcendentes Numerus pi $\pi =3.14159265358979\ldots$ Numerus Euleri $e=2.718281828459045\ldots$ Numerus imaginarius $i={\sqrt {-1}}$ Quaterni $\mathbb {H}$ Octoni $\mathbb {O}$ Infinitas $\infty$
Variae radices
Radix binaria(2) Radix octalis(8) Radix decimalis(10) Radix sedecimalis(16)

In mathematicae scientia numerus primus est numerus naturalis maior quam unus cuius divisores positivi sunt tantummodo numerus unus et ille ipse. Si numerus naturalis quidam est maior quam unus sed numerus primus non est tunc ipse denominatur numerus compositus. Numeri primi sunt maximi momenti in theoriae numerorum disciplina et in rebus cryptographicis.

Copia numerorum primorum est infinita, quemadmodum a praeclaro mathematico Euclide est demonstratum (Elementa, liber IX, prop. 20), et series sic incipit: $\mathbb {P} =\{2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,\ldots \}$

Repraesentatio numerorum naturalium ut productum numerorum primorum

Cribum Eratosthenis numeros primos inter numeros naturales distinguit

Theorema fundamentale arithmeticae affirmat omnes numeros integros positivos uno solum modo ut productum numerorum primorum scribi posse, qua de causa numeri primi esse omnium numerorum generatores videntur. Optime videmus numerum 23244, exempli gratia, sequenti modo scribi posse

$23244=2\times 2\times 3\times 13\times 149$

et, permutationibus terminorum exclusis, huius numeri alia factoratio non est.

Theorema numerorum primorum

Theorema numerorum primorum est praeclarum theorema a mathematicis Hadamard et de la Vallée Poussin anno 1896 probatum quod numerorum primorum distributionem praeterpropter describit. Sit functio π(x) quae numeros primos aequales aut minores quam x computat, e.g. π(10) = 4 quia sunt quattuor numeri primi minores quam numerus decem, scilicet 2,3,5 et 7. Tunc hoc theorema statuit quod

$\lim _{x\to \infty }{\frac {\pi (x)}{x/\ln x}}=1$

unde ln(x) logarithmum naturalem numeri x denotat.

Constat autem meliorem functionis π(x) coniectionem esse

$\lim _{x\to \infty }{\frac {\pi (x)}{{\rm {Li}}(x)}}=1$

unde Li(x) est integralis logarithmica sequens,

${\rm {Li}}(x)=\int _{2}^{x}{\frac {dt}{\ln t}}\,$

quemadmodum in sequenti tabula inspicere queamus.

x	π(x)	π(x)/(x/ln(x))	π(x)/Li(x)
101	4	1.0857	0.6666
102	25	0.8688	0.8333
103	168	0.8620	0.9438
104	1,229	0.8841	0.9863
105	9,592	0.9057	0.9960
106	78,498	0.9225	0.9983
107	664,579	0.9337	0.9994
108	5,761,455	0.9425	0.9998
109	50,847,534	0.9496	0.9999

Loci

Propter theorematum difficultatem et pulchritudinem, numeri primi iampridem mathematicos maxime commovent. In articulo autem De Numeris Primis Valde Magnis anno 1764 Helveticus mathematicus Leonhardus Eulerus haec de difficultate ordinis numerorum primorum inveniendae verba scripsit:

...videtur enim lex, qua numeri primi progrediuntur, in Arithmetica aeque abstrusae esse indaginis, atque in Geometria circuli quadratura: ac si huius indagatio pro desperata est habenda, non leviores adsunt rationes, quae et ordinis quo numeri primi se invicem sequuntur, cognitionem nos in perpetuum fugere persuadent.

Nexus interni

• Cribrum Eratosthenis
• Numerus perfectus

Nexus externi

• Euler, De Numeris Primis valde Magnis. Novi Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 9, 1764, pp. 99-153 (sub forma PDF)
• Euler, Utrum hic numerus 1000009 sit primus necne inquiritur. Nova Acta Academiae Scientarum Imperialis Petropolitinae 10, 1797, pp. 63-73 (sub forma PDF)