Įbrėžtinis kampas

Geometrijoje įbrėžtinis kampas – kampas apskritimo viduje, kurio viršūnė yra apskritimo taškas, o kraštinės kerta apskritimą.

Įbrėžtinis kampas θ yra lygus pusei centrinio kampo 2θ, besiremiančio į tą patį apskritimo lanką 2θ. Kampas θ nesikeičia, kai jo viršūnė juda aplink apskritimą.

Lygiai taip pat įbrėžtinį kampą apibrėžia dvi apskritimo stygos, turinčios vieną bendrą tašką.

Kiekvienas įbrėžtinis kampas, kuris remiasi į apskritimo lanką, iki 180° papildo kitą įbrėžtinį kampą, kuris remiasi į likusį apskritimo lanką.

Įbrėžtinio kampo teorema susieja įbrėžtinio kampo dydį su centriniu kampu, jungiančiu tą patį lanką.

Įbrėžtinio kampo teorema yra 20 teiginys Euklido Pradmenų 3 tome.

Įbrėžtinio kampo teorema

Teiginys

Fiksuotų taškų A ir B atveju taškų M aibė plokštumoje, kuriai lygus kampas AMB α yra apskritimo lankas. Matas ∠ AOB, kur O yra apskritimo centras, yra 2 α .

Įbrėžtinio kampo teorema teigia, kad į apskritimą įbrėžtas kampas θ lygus pusei centrinio kampo 2θ, besiremiančio į tą patį lanką. Todėl kampas nesikeičia, kai jo viršūnė perkeliama į skirtingas apskritimo vietas.

Įrodymas

1. Įbrėžtiniai kampai, kai viena iš stygų yra skersmuo

Pirmasis atvejis

Tegul O yra apskritimo centras, kaip parodyta diagramoje dešinėje. Pasirinkite du apskritimo taškus ir pavadinkite juos V ir A. Nubrėžkite tiesę VO ir pratęskite ją taip, kad ji kirstų apskritimą taške B, kuris būtų vienoje tiesėje su V. Nubrėžkite kampą, kurio viršūnė yra taškas V, o kraštinės eina per taškus A ir B.

Nubrėžkite liniją OA. Kampas BOA yra centrinis kampas, žymime θ. Tiesės OV ir OA yra apskritimo spinduliai, todėl jų ilgis yra vienodas. Vadinasi trikampis VOA yra lygiašonis, todėl kampas BVA (įbrėžtinis kampas) ir kampas VAO yra lygūs. Kiekvienas iš jų žymimas kaip ψ.

Kampai BOA ir AOV sudaro 180°, nes linija VB, einanti per O, yra tiesė. Todėl kampas AOV yra 180° − θ .

Yra žinoma, kad trys trikampio kampai sudaro 180°, tada trys trikampio VOA kampai yra:

180° − θ

ψ

ψ.

Iš to seka

$2\psi +180^{\circ }-\theta =180^{\circ }.$

Atimame iš abiejų pusių

$(180^{\circ }-\theta )$

gauname

$2\psi =\theta ,$

kur θ yra centrinis kampas, o ψ yra įbrėžtinis kampas.

2. Įbrėžtiniai kampai su apskritimo centru jų viduje

Antrasis atvejis

Duotas apskritimas, kurio centras yra taške O, pasirinkite tris apskritimo taškus V, C ir D. Nubrėžkite linijas VC ir VD: kampas DVC yra įbrėžtinis kampas. Dabar nubrėžkite tiesę VO ir pratęskite ją už taško O taip, kad ji kirstų apskritimą taške E. Kampas DVC suformuoja apskritimo lanką DC.

Tarkime, kad šis lankas apima tašką E. Taškas E yra vienoje tiesėje su tašku V. Kampai DVE ir EVC taip pat yra įbrėžtiniai kampai, kadangi abu šie kampai turi vieną kraštinę, kuri eina per apskritimo centrą, todėl jiems galima pritaikyti teoremą iš aukščiau pateikto 1-ojo atvejo.

Todėl,

$\angle DVC=\angle DVE+\angle EVC.$

tada žymime

$\psi _{0}=\angle DVC,$

$\psi _{1}=\angle DVE,$

$\psi _{2}=\angle EVC,$

taip kad

$\psi _{0}=\psi _{1}+\psi _{2}.\qquad \qquad (1)$

Nubrėžkite linijas OC ir OD. Kampas DOC yra centrinis kampas, kaip ir kampai DOE ir EOC, ir

$\angle DOC=\angle DOE+\angle EOC.$

Žymime

$\theta _{0}=\angle DOC,$

$\theta _{1}=\angle DOE,$

$\theta _{2}=\angle EOC,$

taip kad

$\theta _{0}=\theta _{1}+\theta _{2}.\qquad \qquad (2)$

Iš 1-ojo atvejo žinome, kad $\theta _{1}=2\psi _{1}$ ir $\theta _{2}=2\psi _{2}$ . Sujungus šiuos rezultatus su (2) lygtimi, gauname

$\theta _{0}=2\psi _{1}+2\psi _{2}=2(\psi _{1}+\psi _{2})$

todėl pagal (1) lygtį

$\theta _{0}=2\psi _{0}.$

3. Įbrėžtiniai kampai su apskritimo centru jų išorėje

Trečiasis atvejis

Ankstesnis atvejis gali būti išplėstas, kad apimtų atvejį, kai įbrėžtinis kampo dydis yra skirtumas tarp dviejų įbrėžtinių kampų, kaip aptarta 1-ojoje šio įrodymo dalyje.

Duotas apskritimas, kurio centras yra taške O, pasirinkite tris apskritimo taškus V, C ir D. Nubrėžkite linijas VC ir VD: kampas DVC yra įbrėžtinis kampas. Dabar nubrėžkite tiesę VO ir pratęskite ją už taško O taip, kad ji kirstų apskritimą taške E. Kampas DVC suformuoja apskritimo lanką DC.

Tarkime, kad šis lankas neapima taško E. Taškas E yra vienoje tiesėje su V. Kampai EVD ir EVC taip pat yra įbrėžtiniai kampai, kadangi abu šie kampai turi vieną kraštinę, kuri eina per apskritimo centrą, jiems galima pritaikyti teoremą iš aukščiau pateikto 1-ojo atvejo.

Todėl,

$\angle DVC=\angle EVC-\angle EVD$.

tada žymime

$\psi _{0}=\angle DVC,$

$\psi _{1}=\angle EVD,$

$\psi _{2}=\angle EVC,$

taip kad

$\psi _{0}=\psi _{2}-\psi _{1}.\qquad \qquad (3)$

Nubrėžkite linijas OC ir OD. Kampas DOC yra centrinis kampas, kaip ir kampai EOD ir EOC, ir

$\angle DOC=\angle EOC-\angle EOD.$

Žymime

$\theta _{0}=\angle DOC,$

$\theta _{1}=\angle EOD,$

$\theta _{2}=\angle EOC,$

taip kad

$\theta _{0}=\theta _{2}-\theta _{1}.\qquad \qquad (4)$

Iš 1-ojo atvejo žinome $\theta _{1}=2\psi _{1}$ ir tai $\theta _{2}=2\psi _{2}$ . Sujungus šiuos rezultatus su (4) lygtimi, gauname

$\theta _{0}=2\psi _{2}-2\psi _{1}$

todėl pagal (3) lygtį,

$\theta _{0}=2\psi _{0}.$

Įbrėžtinio kampo teoremos įrodymo animacija. Didysis trikampis, įbrėžtas į apskritimą, yra padalintas į tris mažesnius trikampius, kurie visi yra lygiašoniai, nes jų dvi kraštinės yra apskritimo spinduliai. Kiekvieno lygiašonio trikampio kampai prie pagrindo yra lygūs ir yra pusė 180° atėmus viršūnės kampą apskritimo centre. Sudėjus šiuos lygiašonius pagrindo kampus, gaunama įbrėžtinio kampo teorema, kur $\psi$, yra pusė centrinio kampo, $\theta$.

Išvada

Pagal panašų teiginį kampas tarp stygos ir liestinės viename iš jos susikirtimo taškų yra lygus pusei centrinio kampo, kurį sudaro styga.

Taikymas

Įbrėžtinio kampo teorema naudojama daugelyje elementariosios Euklidinės plokštumos geometrijos įrodymų. Atskiras teoremos atvejis yra Talio teorema, kuri teigia, kad kampas, kurį sudaro skersmuo, visada yra 90°, t. y. statusis. Dėl šios teoremos priešingų ciklinių keturkampių kampų suma yra 180°, ir atvirkščiai, bet kuris keturkampis, kuriam tai galioja, gali būti įbrėžtas į apskritimą.

Įbrėžtinių kampų teoremos elipsėms, hiperbolėms ir parabolėms

Įbrėžtinių kampų teoremos taip pat egzistuoja elipsėms, hiperbolėms ir parabolėms. Esminiai skirtumai yra kampo išmatavimai. (Kampu yra laikoma susikertančių linijų pora.)

• Elipsė
• Hiperbolė
• Parabolė

Taip pat skaitykite

• Centrinis kampas

Literatūra

• Ogilvy, C. S. (1990). Excursions in Geometry. Dover. pp. 17–23. ISBN 0-486-26530-7.
• Gellert W, Küstner H, Hellwich M, Kästner H (1977). The VNR Concise Encyclopedia of Mathematics. New York: Van Nostrand Reinhold. pp. 172. ISBN 0-442-22646-2.
• Moise, Edwin E. (1974). Elementary Geometry from an Advanced Standpoint (2nd leid.). Reading: Addison-Wesley. pp. 192–197. ISBN 0-201-04793-4.

Nuorodos

• Eric W. Weisstein, Inscribed Angle, MathWorld. (angl.)
• Relationship Between Central Angle and Inscribed Angle (angl.)
• Munching on Inscribed Angles (angl.)
• Arc Central Angle (angl.)
• Arc Peripheral (inscribed) Angle (angl.)
• Arc Central Angle Theorem (angl.)
• At bookofproofs.github.io Archyvuota kopija 2023-02-01 iš Wayback Machine projekto. (angl.)