Kvadratas (algebra)

Kitos reikšmės – Kvadratas (reikšmės).

Skaičiaus kvadratas – skaičiaus sandauga iš jo paties. Skaičiaus a kvadratas žymimas a². Skaičiaus kvadratas geometrine prasme reiškia kvadrato plotą.

$5\cdot 5$ arba $5^{2}$ (5 kvadratu), gali būti grafiškai pavaizduotas kaip kvadratas, kuris yra sudarytas iš mažesnių kvadratų, kurių plotas $1\cdot 1$, tada didžiojo kvadrato plotas yra $5\cdot 5$.

Dauguma ploto matavimo vienetų yra kvadratai. Pavyzdžiui, kvadratinis metras yra stačiakampio plotas, kurio ilgis ir plotis yra vienas metras.

Kvadratiniai skaičiai

Kvadratinis skaičius yra skaičius, kuris yra kito natūraliojo skaičiaus kvadratas, pvz., pirmieji penki kvadratiniai skaičiai yra:

$1^{2}=1;\;2^{2}=4;\;3^{2}=9;\;4^{2}=16;\;5^{2}=25;$

Kvadratinius skaičius taip pat galima sudaryti iš bet kokių realiųjų ar net kompleksinių skaičių. Apskritai kvadrato sąvoka gali būti taikoma visoms vidinėms dviejų skaitmenų operacijoms, parašytoms daugybos būdu, pavyzdžiui, matricų daugyboje.

Savybės

• realiojo skaičiaus kvadratas visada yra didesnis arba lygus nuliui, nes reikšmių sandauga su tuo pačiu ženklu visada yra teigiama:

$x^{2}\geq 0\qquad \forall x\in \mathbb {R} .$

• dėl tos pačios priežasties galioja:

$x^{2}=\left(-x\right)^{2}.$

• menamojo skaičiaus kvadratas yra visada yra mažesnis už nulį, nes menamąjį vienetą keliant kvadratu gaunamas neigiamas skaičius, kuris tada padauginamas iš koeficiento kvadrato (kuris yra teigiamas).
• nelyginių skaičių suma eilės tvarka sudaro tobulą lyginio arba nelyginio skaičiaus kvadratą (šią ypatybę žinojo graikų matematikas Euklidas):

$1=1^{2}$

$1+3=2^{2}$

$1+3+5=3^{2}$

$1+3+5+7=4^{2}$

$1+3+5+7+9=5^{2}$

• Kvadratų sumą $1^{2}+2^{2}+\ldots +n^{2}$ galima apskaičiuoti formule ${\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}$.

Kvadratų lentelė

Natūraliųjų skaičių nuo 1 iki 50 kvadratai

1² = 1	11² = 121	21² = 441	31² = 961	41² = 1681
2² = 4	12² = 144	22² = 484	32² = 1024	42² = 1764
3² = 9	13² = 169	23² = 529	33² = 1089	43² = 1849
4² = 16	14² = 196	24² = 576	34² = 1156	44² = 1936
5² = 25	15² = 225	25² = 625	35² = 1225	45² = 2025
6² = 36	16² = 256	26² = 676	36² = 1296	46² = 2116
7² = 49	17² = 289	27² = 729	37² = 1369	47² = 2209
8² = 64	18² = 324	28² = 784	38² = 1444	48² = 2304
9² = 81	19² = 361	29² = 841	39² = 1521	49² = 2401
10² = 100	20² = 400	30² = 900	40² = 1600	50² = 2500