Matematinė analizė

Matematinė analizė – bendras pavadinimas matematikos srities, susijusios su matematinėmis ribos ir konvergavimo sąvokomis bei iš jų išvestomis diferencijavimo ir integravimo operacijomis, taikant jas daugiausiai realių ir kompleksinių skaičių bei funkcijų kontekste. Matematinė analizė nagrinėja funkcijų „elgesį riboje“ („be galo mažoje“ arba „be galo didelėje“ begalybėje) bei tokias su tuo susijusias fundamentalias savybes kaip tolydumas, diferencijuojamumas, integruojamumas.

Matematinė analizė kilo griežtai suformulavus „be galo mažų dydžių skaičiavimo“ sąvokas. Šių laikų matematikos pedagogikoje matematinė analizė yra laikoma aukštojo matematinio išsilavinimo pagrindu.

Diferencialinių lygčių teorijai, kompleksinio kintamojo funkcijų teorijai, variaciniam skaičiavimui, funkcinei analizei, diferencialinei geometrijai ilgainiui tapus atskiromis matematikos šakomis, matematinei analizei priskiriama tik realiųjų skaičių, ribų, eilučių teorija, diferencialinis ir integralinis skaičiavimas.

Istorija

Istoriškai laikoma, kad matematinė analizė atsirado XVII amžiuje, kai Izaokas Niutonas ir Gotfrydas Leibnicas išrado integralinį ir differencialinį skaičiavimą.

XVII-XVIII amžiais tirti praktiškai panaudojami analizės skyriai – pokyčių skaičiavimas, diferencialinės lygtys, Furjė analizė, aproksimacinės eilutės. Skaičiavimo metodai sėkmingai taikyti aproksimuojant diskrečias problemas, naudojant tolygias funkcijas.

XVIII amžiuje matematinės funkcijos apibrėžimas dar buvo labai miglotas, bet XIX amžiuje Koši pirmasis sukūrė loginį integralinių ir diferencialinių skaičiavimų pagrindą, suformuluodamas Koši kriterijų. Jis taip pat pradėjo formalizuoti kompleksinės analizės sritį. Kiti matematikai (Puasonas, Liuvilis, Furjė) tyrė diferencialines lygtis dalinėmis išvestinėmis, taip pat harmoninės analizės problemas.

XIX amžiaus viduryje Rymanas suformulavo integravimo teoriją. Vėliau Karlas Vejerštrasas (Karl Weierstrass) tyrė analizės aritmetizavimą, taip pat įvedė šiuolaikinius matematinės analizės žymėjimus ε-δ, taip pat ribos apibrėžimą. Vėlesni matematikai pradėjo tirti tolygumą ir realiuosius skaičius, kurių egzistavimas iki šiol buvo priimamas be įrodymo.