Si
α
,
β
{\displaystyle \alpha, \beta}
uno-formas en un espacio diferenciable
R
n
{\displaystyle \R^n}
X
,
Y
{\displaystyle X, Y}
campos vectoriales entonces el producto cuña o producto exterior de las dos 1-formas se define como el mapeo
α
∧
β
:
T
R
n
×
T
R
n
→
R
{\displaystyle \alpha \wedge \beta : T\mathbb{R}^n \times T\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}}
(
α
∧
β
)
(
X
,
Y
)
=
α
(
X
)
β
(
Y
)
−
α
(
Y
)
β
(
X
)
{\displaystyle (\alpha \wedge \beta)(X,Y) = \alpha(X)\beta(Y)-\alpha(Y)\beta(X)}
Así,
α
∧
β
{\displaystyle \alpha \wedge \beta}
dos-forma .
Este producto tiene la propiedad de ser anti-simétricos :
(
α
∧
β
)
(
X
,
Y
)
=
α
(
X
)
β
(
Y
)
−
α
(
Y
)
β
(
X
)
=
−
[
α
(
Y
)
β
(
X
)
−
α
(
X
)
β
(
Y
)
]
=
−
(
α
∧
β
)
(
Y
,
X
)
{\displaystyle (\alpha \wedge \beta)(X,Y) = \alpha(X)\beta(Y)-\alpha(Y)\beta(X) = - [\alpha(Y)\beta(X) - \alpha(X)\beta(Y)] = - (\alpha \wedge \beta)(Y,X)}
así como
α
∧
α
=
−
α
∧
α
=
0
{\displaystyle \alpha \wedge \alpha = -\alpha \wedge \alpha = 0}
De manera general
α
∧
β
=
(
A
s
B
t
−
A
t
B
s
)
d
x
s
∧
d
x
t
{\displaystyle \alpha \wedge \beta = (A_{s} B_{t} - A_{t} B_{s})dx^{s}\wedge dx^{t}}
α
=
A
i
d
x
i
,
β
=
B
i
d
x
i
∈
R
n
{\displaystyle \alpha = A_{i}dx^{i}, \beta = B_{i}dx^{i} \in \mathbb{R}^n}
1
<
s
<
t
<
n
{\displaystyle 1< s < t < n}
convención de la suma de Einstein .
En particular, si n = 3, esto se relacionacon el producto cruz de los objetos
A
=
A
1
i
^
+
A
2
j
^
+
A
3
k
^
{\displaystyle \mathbf{A} = A_1 \mathbf{\hat {i}} + A_2 \mathbf{\hat {j}} + A_3 \mathbf{\hat {k}} }
B
=
B
1
i
^
+
B
2
j
^
+
B
3
k
^
{\displaystyle \mathbf{B} = B_1 \mathbf{\hat {i}} + B_2 \mathbf{\hat {j}} + B_3 \mathbf{\hat {k}} }
![{\displaystyle (\alpha \wedge \beta )(X,Y)=\alpha (X)\beta (Y)-\alpha (Y)\beta (X)=-[\alpha (Y)\beta (X)-\alpha (X)\beta (Y)]=-(\alpha \wedge \beta )(Y,X)}](https://services.fandom.com/mathoid-facade/v1/media/math/render/svg/50f10dd0b609de46ae163411f9eea38babd920b8)
