പൈ (ഗണിതം)

പൈ എന്ന വാക്കാൽ വിവക്ഷിക്കാവുന്ന ഒന്നിലധികം കാര്യങ്ങളുണ്ട്. അവയെക്കുറിച്ചറിയാൻ പൈ (വിവക്ഷകൾ) എന്ന താൾ കാണുക.

ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ വളരെ പ്രാധാന്യമുള്ള ഒരു സ്ഥിരവില സൂചിപ്പിക്കുന്ന ചിഹ്നമാണ് പൈ. പൈ ഒരു അഭിന്നകമാണ്(irrational number). 3.14159.. എന്നു പൈയുടെ ദശാംശരൂപം തുടങ്ങുന്നു. ഗ്രീക്ക് അക്ഷരമാലയിലെ പതിനാറാമത്തെ അക്ഷരമായ π (പൈ) ഉപയോഗിച്ചാണ്‌ ഇത് സൂചിപ്പിക്കുന്നത് . യൂക്ലീഡിയൻ ജ്യാമിതിയിൽ ഒരു വൃത്തത്തിന്റെ ചുറ്റളവിൽ നിന്ന് വ്യാസത്തിലേക്കുള്ള അനുപാതത്തെ ഇത് പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു. വൃത്തത്തിന്റെ ചുറ്റളവും വിസ്തീർണ്ണവും കണക്കാൻ പൈ ഉപയോഗപ്പെടുത്തുന്നു. ഒരു വൃത്തത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണത്തിൽനിന്ന് ആരത്തിന്റെ വർഗ്ഗത്തിലേക്കുള്ള അനുപാതത്തെ ഈ സംഖ്യ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു, കൂടാതെ ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലെയും മറ്റു ശാസ്ത്രശാഖകളിലെയും അനേകം സൂത്രവാക്യങ്ങളിൽ ഇത് കണ്ടുവരുന്നു. ഇതിന്റെ ദശാംശ വിപുലീകരണം 3.1415926535897932... ഒരിക്കലും അവസാനിക്കുന്നില്ല, അതേ സമയം വിപുലീകരണം ക്രമമായിട്ടല്ല ആവർത്തിക്കുന്നത്. ഇത് ഒരു അപ്രാപ്യമായ സംഖ്യയാണ് (Transcedental number), അതായത് ബീജഗണിതപരമല്ലാത്ത ഒരു രേഖീയ അല്ലെങ്കിൽ സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യയാണിത്, ഇത് പരിമേയ ഗുണോത്തരങ്ങളോടുകൂടിയ ശൂന്യമല്ലാത്ത പോളിനോമിയൽ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഫലമാവുന്നില്ല.

ഒരു വൃത്തത്തിന്റെ വ്യാസം 1 ആണെങ്കിൽ അതിന്റെ ചുറ്റളവ് π ആകുന്നു.

ഗ്രീക്ക് ഭാഷയിൽ പെരിമീറ്റർ എന്നർത്ഥമുള്ള പെരിഫെറി എന്ന വാക്കിന്റെ ആദ്യ അക്ഷരമാണ് പൈ. 1761-ൽ ജർമൻ ശാസ്ത്രജ്ഞനായ ലാമ്പെർട്ട് പൈ ഒരു അഭിന്നകമാണ് എന്നു തെളിയിച്ചു. ലുഡോൾഫിയർ സംഖ്യ എന്നും അറിയപ്പെടുന്നു.

50 ദശാംശ സ്ഥാനം വരെ കൃത്യമായ പൈയുടെ വില 3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 ആണ്‌.

കുറിപ്പുകൾ

മാർച്ച് 14 പൈ ദിനമായി ആചരിക്കപ്പെടുന്നു. ^[1] വില ആദ്യമായി നിർണയിച്ചത് ആർക്കിമിഡീസ് ആയിരുന്നു.എന്നാൽ കൃത്യമായ വില കണ്ടെത്തിയത് (നാലു ദശാംശ സ്ഥാനം വരെ) ഭാരതീയ ഗണിത ശാസ്ത്രജ്ഞനായിരുന്ന ആര്യഭടൻ ആയിരുന്നു.

പൈയുടെ നിലവിലുള്ള ചിഹ്നം ആദ്യമായി ഉപയോഗിച്ചത് വില്യം ജോൺസ് ആണ്. പൈയുടെ വില നാലു ദശാംശസ്ഥാനം വരെ ഓർത്തിരിക്കുവനായി SEE.I HAVE A NUMBER എന്ന വാചകം സഹായിക്കും (അക്ഷരങ്ങളുടെ എണ്ണം) 22/7 എന്നത് ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയാണ് അതിനാൽ തന്നെ ഭിന്നകവും (rational number) ആണ്. 22/7 = 3.142857…… എന്നാണല്ലോ.അതായത് ദശാംശസ്ഥാനം കഴിഞ്ഞുള്ള 142857 എന്നീ സംഖ്യകൾ ആവർത്തിച്ചുകൊണ്ടേയിരിക്കും (ക്രമാവർത്തനം). ഇങ്ങനെ ഒരു സംഖ്യയെ എങ്ങനെ അഭിന്നകമായ പൈയ്ക്കു തുല്യമെന്നു പറയാൻ കഴിയും? 3.142857……എന്ന സംഖ്യയെ 22/7 ആക്കി മാറ്റുന്നത് എങ്ങനെയെന്ന് ശ്രദ്ധിക്കുക.

x = 3.142857…… ______________ (1)

1000000 X x = 3.142857…… X 1000000

1000000x = 3142857.142857…… _______________ (2)

(2) — (1) —> 999999 x = 3142854

x = 3142854/999999

= 349206/111111 (Dividing Nr & Dr by 9)

= 31746/10101 (Dividing Nr & Dr by 11)

= 22/7 (Dividing Nr & Dr by 1443)

എന്നാൽ 50 ദശാംശം വരെ കൃത്യമായ പൈയുടെ വില 3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 ആണ്‌ എന്നാൽ ക്രമരഹിതമായി ആവർത്തിച്ചുകൊണ്ടേയിരിക്കുന്ന സംഖ്യകൾ ഇപ്രകാരം ഭിന്നസംഖ്യാരൂപത്തിൽ എഴുതുവാൻ കഴിയില്ല. അതിനാലാണ് പൈ അഭിന്നകവും അപ്രാപ്യ സംഖ്യ (Transcendental number)യുമാകുന്നത്.

പൈ ഭാരതീയ ഗണിതത്തിൽ

ഭാരതീയശാസ്ത്രജ്ഞനായ ആര്യഭടൻ, പൈയുടെ വില നാലു ദശാംശസ്ഥാനം വരെ കൃത്യമായി നിർണ്ണയിച്ചിരുന്നു. ആര്യഭടീയത്തിലെ ഗണിതപാദ അദ്ധ്യായത്തിലെ 10ആം ശ്ലോകത്തിൽ നിന്നും പൈയുടെ വില നിർണ്ണയിക്കാം.

ചതുരധികം ശതമഷ്ടഗുണം ദ്വാഷഷ്ടിസ്തഥാ സഹസ്രാണാം അയുതദ്വയവിഷ്കംഭസ്യ ആസന്നോ വൃത്തപരിണാഃ

ചതുരധികം ശതമഷ്ടഗുണം ദ്വാഷഷ്ടിസ്തഥാ സഹസ്രാണാം = ((4+100)×8)+62000= $62832$ അയുതദ്വയവിഷ്കംഭസ്യ = $20000$

അതായത് ഈ ശ്ലോകം അനുസരിച്ച്, 20000 യൂനിറ്റ് വ്യാസം ഉള്ള ഒരു വൃത്തതിന്റെ ചുറ്റളവ് ഏകദേശം 62832 യൂനിറ്റ് ആയിരിക്കും.

ഈ സംഖ്യകൾ വച്ചു പൈയുടെ മൂല്യം

$\pi$ = $62832 \over 20000$ = $3.1416$ എന്ന് ലഭിക്കുന്നു ^[2]

അവലംബം

↑ http://www.dailypilot.com/articles/2007/03/20/columns/dpt-buffa18.txt.
↑ Jacobs, Harold R. (2003). Geometry: Seeing, Doing, Understanding (Third ed.). New York: W.H. Freeman and Company. p. 70. ISBN 0-7167-4361-2.

ഗണിതവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ഈ ലേഖനം അപൂർണ്ണമാണ്‌. ഇതു വികസിപ്പിക്കുവാൻ സഹായിക്കുക. സഹായത്തിനു ഈ ലേഖനത്തിന്റെ ഇംഗ്ലീഷ് പതിപ്പ്.

[1] ttp://www.dailypilot.com/articles/2007/03/20/columns/dpt-buffa18.txt.

[2] Jacobs, Harold R. (2003). Geometry: Seeing, Doing, Understanding (Third ed.). New York: W.H. Freeman and Company. p. 70. ISBN 0-7167-4361-2.

[1]

[2]