ശിഷ്ടം

ഏതെങ്കിലും കണക്കുകൂട്ടലിന്റെ അവസാനം ബാക്കി വരുന്ന അളവിനെയാണ് ഗണിതത്തിൽ ശിഷ്ടം (remainder) എന്നു വിളിക്കുന്നത്. അങ്കഗണിതത്തിൽ ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയെ മറ്റൊന്നിനെക്കൊണ്ട് ഹരിച്ച് ഹരണഫലവും പൂർണ്ണസംഖ്യയായെടുത്താൽ ബാക്കി വരുന്ന പൂർണ്ണസംഖ്യയാണ് ശിഷ്ടം. ഇതുപോലെ ബീജഗണിതത്തിൽ ഒരു ബഹുപദത്തെ മറ്റൊന്നിന്നെക്കൊണ്ട് പൂർണ്ണമായി ഹരിക്കാൻ സാധിച്ചില്ലെങ്കിലും ശിഷ്ടം ലഭിക്കുന്നു. ഹാരകം, ഹാര്യം എന്നിവയിൽ നിന്നും ശിഷ്ടമെടുക്കുന്ന സംക്രിയയാണ് മോഡ്യുലോ സംക്രിയ.

പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ

a, d എന്നിവ പൂർണ്ണസംഖ്യകളായിരിക്കുകയും d പൂജ്യമല്ലാതിരിക്കുകയും ചെയ്താൽ a = qd + r എന്ന സമവാക്യവും 0 ≤ r < |d| എന്ന അസമതയും അനുസരിക്കുന്ന q, r എന്ന അനന്യമായ പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ കണ്ടെത്താൻ സാധിക്കും. ഇവിടെ q ഹരണഫലവും r ശിഷ്ടവുമാണ്. ഇവ കണ്ടുപിടിക്കുന്ന പ്രക്രിയയാണ് യൂക്ലിഡിയൻ ഹരണം.

മേൽ വിവരിച്ച തരത്തിലുള്ള ശിഷ്ടത്തെ ലഘുതമ ധന ശിഷ്ടം (least positive remainder) എന്നും വിളിക്കുന്നു. a എന്ന പൂർണ്ണസംഖ്യ ഒന്നെങ്കിൽ d യുടെ ഗുണിതമായിരിക്കും, അല്ലെങ്കിൽ d യുടെ രണ്ട് അനുക്രമമായ ഗുണിതങ്ങൾക്കിടയിലായിരിക്കും (q⋅d, (q + 1)d).

a യുടെ വില d യുടെ ഒരു ഗുണിതത്തോട് ഏറ്റവുമടുത്ത് വരുന്ന രീതിയിലും ഹരണം നടത്താം. അതായത്,

a = k⋅d + s എന്നും |s| ≤ |d/2| എന്നും k എന്ന ഏതെങ്കിലുമൊരു പൂർണ്ണസംഖ്യയുടെ കാര്യത്തിൽ ശരിയാവുന്നവിധം എഴുതാം.

ഇങ്ങനെയാണ് ശിഷ്ടമെടുക്കുന്നതെങ്കിൽ s നെ ലഘുതമ കേവല ശിഷ്ടം (least absolute remainder) എന്ന് വിളിക്കുന്നു. k, s എന്നിവ സാധാരണ ഗതിയിൽ അനന്യമാണ്, d = 2n, s = ± n ആവുന്ന അവസരത്തിൽ മാത്രം രണ്ട് നിർദ്ധാരണങ്ങളുണ്ടാകാം:

a = k⋅d + n = (k + 1)d − n.

ഇങ്ങനെ വരുമ്പോൾ എപ്പോഴും ധനവില എടുത്ത് അനന്യത ഉറപ്പുവരുത്താം.

ഉദാഹരണം

43 നെ 5 കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ

43 = 8 × 5 + 3

എന്ന് ലഭിക്കുന്നു, അതിനാൽ ലഘുതമ ധന ശിഷ്ടം 3 ആണ്.

43 = 9 × 5 − 2

ആയതിനാൽ ലഘുതമ കേവല ശിഷ്ടം -2 ആണ്.

ബഹുപദ ഹരണം

ബഹുപദങ്ങളെയും യൂക്ലിഡിയൻ ഹരണം നടത്താം, ഫലമായി ബഹുപദ ശിഷ്ടം ലഭിക്കും. ഏതെങ്കിലും ക്ഷേത്രത്തിൽ (വാസ്തവികസംഖ്യകൾ, മിശ്രസംഖ്യകൾ എന്നിവ ഉദാഹരണം) ഒരു ചരത്തിനുമേലുള്ള a(x), പൂജ്യമല്ലാത്ത b(x) എന്ന രണ്ട് ബഹുപദങ്ങളെടുത്താൽ

$a(x)=b(x)q(x)+r(x)$

എന്ന സമവാക്യവും

$\deg(r(x))<\deg(b(x)),$

എന്ന അസമതയുമനുസരിക്കുന്ന q(x) എന്ന ബഹുപദ ഹരണഫലവും r(x) എന്ന ബഹുപദ ശിഷ്ടവും കണ്ടുപിടിക്കാനാകും. ഇവിടെ "deg(...)" ബഹുപദത്തിന്റെ കൃതിയെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു, പൂജ്യം വിലയുള്ള സ്ഥിരാങ്ക ബഹുപദത്തിന്റെ കൃതി ന്യൂനസംഖ്യയായാണ് നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നത്. ബഹുപദ ഹരണഫലവും ശിഷ്ടവ്വും അനന്യമായിരിക്കും.

ഗ്രന്ഥസൂചി

• Ore, Oystein (1988) [1948], Number Theory and Its History, Dover, ISBN 978-0-486-65620-5
• Larson, Ron; Hostetler, Robert (2007), Precalculus:A Concise Course, Houghton Mifflin, ISBN 978-0-618-62719-6