Pengaliasan

Dalam bidang pemprosesan isyarat serta disiplin berkaitan, pengaliasan ialah kesan yang mengakibatkan isyarat-isyarat yang berbeza tidak dapat dibezakan apabila disampelkan. Ia turut merujuk kepada herotan dan artifak yang terhasil apabila isyarat yang dihasilkan semula daripada sampel-sampelnya adalah tidak sama dengan isyarat terus yang asal.

Pengaliasan boleh berlaku dalam isyarat yang disampelkan mengikut masa, contohnya audio digital, dan disebut sebagai pengaliasan masa. Pengaliasan turut berlaku dalam isyarat-isyarat yang disampelkan mengikut ruang, contohnya imej digital. Pengaliasan sedemikian disebut pengaliasan ruang.

Penerangan

Kiri: Imej beralias bagi huruf A dalam Times New Roman. Kanan: Imej yang diantialiaskan. (Lihat juga: Perasteran fon)

Apabila sesebuah imej dipaparkan, imej tersebut akan dihasilkan semula oleh peranti paparan atau mesin cetak, dan oleh mata serta otak si pemerhati. Jika data imej tersebut tidak diproses dengan betul semasa disampelkan atau dihasilkan semula, imej yang terhasil tidak akan menyerupai imej yang asal, dan alias akan kelihatan.

Satu contoh pengaliasan ruang ialah corak moiré yang boleh dilihat pada imej dinding bata yang tidak dipikselkan dengan baik. Teknik-teknik antialias ruang mengelakkan pempikselan sedemikian. Pengaliasan boleh terjadi semasa pengsampelan atau semasa penghasilan semula; masing-masing boleh dirujuk dengan istilah prapengaliasan dan pascapengaliasan.^[1]

Pengaliasan masa adalah masalah utama dalam pensampelan isyarat audio dan video. Muzik, sebagai contoh, mungkin mengandungi komponen berfrekuensi tinggi yang tidak dapat didengar oleh telinga manusia. Jika sesuatu muzik disampelkan pada 32,000 sampel sesaat (Hz), mana-mana komponen frekuensi melebihi 16,000 Hz (frekuensi Nyquistnya) akan menyebabkan pengaliasan apabila muzik tersebut dihasilkan semula oleh penukar digital ke analog. Bagi membendung perkara ini daripada berlaku, turas antialias digunakan untuk membuang komponen yang melebihi frequensi Nyquist sebelum pensampelan dibuat.

Dalam video atau sinematografi, pengaliasan masa terhasil akibat kadar bingkai yang terhad, dan menyebabkan kesan roda gerabak, di mana roda beruji kelihatan berputar terlalu perlahan dan kadangkala pada arah bertentangan dengan putaran sebenar. Pengaliasan telah mengubah frekuensi putaran ketaranya. Arah yang bertentangan pula boleh diistilahkan sebagai frekuensi negatif. Frekuensi pengaliasan masa dalam video dan sinematografi ditentukan oleh kadar bingkai kamera, tetapi keamatan relatif frekuensi yang beralias ditentukan oleh pemasaan pengatup (tempoh dedah) atau penggunaan turas pengurang pengaliasan masa ketika merakam.^[2]

Fungsi jalur terhad

Tempoh bagi isyarat sebenar adalah terhingga manakala kandungan frekuensinya, seperti ditakrifkan oleh jelmaan Fourier, tidak mempunyai batas atas. Sejumlah pengaliasan sering berlaku apabila fungsi-fungsi sebegini disampelkan. Fungsi yang kandungan frekuensinya terbatas (jalur terhad) mempunyai tempoh yang tak terhingga. Jika disampelkan pada kadar yang cukup tinggi, ditentukan oleh lebar jalur, fungsi yang asal secara teori dapat dihasilkan semula dengan sempurna daripada set sampel yang tak terhingga tersebut.

Isyarat lulus jalur

Kadangkala, pengaliasan digunakan dengan sengaja keatas sesuatu isyarat tanpa kandungan berfrekuensi rendah, yang dipanggil isyarat lulus jalur. Pensampelan bawah, yang mewujudkan alias berfrekuensi rendah, mampu memberikan hasil yang sama—dengan sedikit kerja—seperti menganjak frekuensi isyarat terbabit kepada frekuensi yang lebih rendah sebelum mensampelkannya pada kadar yang lebih rendah. Sesetengah penyalur mempergunakan pengaliasan dalam cara ini demi kecekapan pengiraan.^[3]

Pensampelan fungsi sinus

Sinusoid adalah fungsi berkala yang penting kerana isyarat sebenar selalunya dimodelkan sebagai hasil tambah beberapa sinusoid yang berlainan frekuensi dan berlainan amplitud. Mengetahui kesan pengaliasan keatas setiap sinusoid terbabit berguna dalam mengetahui kesannya keatas hasil tambah yang akan diterbitkan.

Dua sinusoid berbeza yang dapat disampelkan dalam set sampel yang sama.

Plot berikut menggambarkan sebuah set sampel yang sela sampelnya ialah 1, dan dua (daripada beberapa) sinusoid berbeza yang boleh menghasilkan set sampel berkenaan. Kadar sampel di sini ialah $f_{s}=1\,$ . Sebagai contoh, jika selanya 1 saat, maka kadarnya ialah 1 sampel sesaat. Sembilan kitaran bagi sinusoid yang merah dan 1 kitaran bagi yang biru menjangkau sela 10 sampel. Jumlah kitaran per sampel masing-masing ialah $f_{\mathrm {merah} }=0.9\,$ dan $f_{\mathrm {biru} }=0.1\,$ . Jika sampel-sampel ini dihasilkan oleh fungsi pensampelan cos(2π(0.9)x−θ) dan cos(2π(0.1)x−φ), sampel-sampel ini juga boleh dihasilkan oleh fungsi kembar trigonometrinya, cos(2π(−0.9)x +θ) dan cos(2π(−0.1)x +φ), yang mewujudkan satu konsep yang berguna, iaitu frekuensi negatif.

Secara am, apabila sesuatu sinusoid berfrekuensi $f$ disampelkan dengan frekuensi $f_{s}$ , jumlah kitaran per sampel yang terhasil ialah $f/f_{s}$ (dikenali sebagai frekuensi ternormal), dan sampel-sampel tersebut tidak dapat dibezakan dengan satu sinusoid yang lain (dipanggil alias) yang beza antara frekuensi ternormalnya dengan $f/f_{s}$ ialah suatu nilai integer (positif mahupun negatif). Dengan menggantikan sinusoid berfrekuensi negatif dengan kembar berfrekuensi positifnya, alias berfrekuensi $f$ dapat diungkapkan sebagai $f_{\mathrm {alias} }(N)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ |f-Nf_{s}|,\,$ bagi sebarang integer N, dengan $\scriptstyle f_{\mathrm {alias} }(0)=f\,$ sebagai nilai yang sebenar, dan N berunit kitaran sesaat. Maka alias bagi N = 1 bagi $\scriptstyle f_{\mathrm {merah} }\,$ ialah $\scriptstyle f_{\mathrm {biru} },\,$ (dan sebaliknya).

Pengaliasan penting semasa bentuk gelombang yang asal ingin dihasilkan semula mengunakan sampel-sampelnya. Teknik penghasilan semula yang paling kerap diguna menghasilkan frekuensi $f_{\mathrm {alias} }(N)$ yang terkecil. Maka selalunya $f_{\mathrm {alias} }(0)$ sebagai nilai unik terkecil adalah penting. Syarat yang perlu dan mencukupi untuk itu ialah $\scriptstyle f_{s}/2\ >\ |f|,\,$ di mana $\scriptstyle f_{s}/2\,$ biasanya disebut frekuensi Nyquist bagi sesebuah sistem yang disampelkan pada kadar $\scriptstyle f_{s}.\,$ Dalam contoh kita, syarat Nyquist dipenuhi jika isyarat asal ialah sinusoid biru ( $\scriptstyle f=f_{\mathrm {biru} }$ ). Tetapi jika $\scriptstyle f=f_{\mathrm {merah} }=0.9,$ kaedah penghasilan semula biasa tidak akan menghasilkan sinusoid merah, tetapi sebaliknya sinusoid yang biru.

Setiap titik hitam pada graf adalah alias masing-masing. Garisan merah penuh pada graf ialah contoh amplitud berubah mengikut frekuensi. Garisan merah putus-putus pula ialah laluan bagi alias.

Pelipatan

Dalam contoh di atas, $\scriptstyle f_{\mathrm {merah} }\,$ dan $\scriptstyle f_{\mathrm {biru} }\,$ adalah simetri pada frekuensi $\scriptstyle f_{s}/2$ . Maka secara am, semakin meningkat $\scriptstyle f$ daripada 0 hingga $\scriptstyle f_{s}/2$ , semakin menurun $\scriptstyle f_{\mathrm {alias} }(1)$ daripada $\scriptstyle f_{s}$ hingga $\scriptstyle f_{s}/2.$ Begitu juga jika $\scriptstyle f$ kian meningkat daripada $\scriptstyle f_{s}/2$ hingga $\scriptstyle f_{s},$ $\scriptstyle f_{\mathrm {alias} }(1)$ akan kian menurun daripada $\scriptstyle f_{s}/2$ hingga 0.

Graf amplitud melawan frekuensi untuk satu sinusoid tunggal berfrekuensi $\scriptstyle 0.6f_{s}$ dan beberapa aliasnya yang berfrekuensi $\scriptstyle 0.4f_{s},$ $\scriptstyle 1.4f_{s},$ dan $\scriptstyle 1.6f_{s}$ akan kelihatan seperti 4 titik hitam dalam rajah di sebelah. Garisan merah adalah laluan (lokus) bagi 4 titik tersebut jika frekuensi dan amplitud sinusoid diubah sepanjang segmen merah penuh (antara $\scriptstyle f_{s}/2$ dan $\scriptstyle f_{s}$ ). Tidak kira apa pun fungsi yang dipilih untuk mengubah amplitud melawan frekuensi, graf sentiasa akan menunjukkan simetri antara 0 dan $\scriptstyle f_{s}$ . Simetri ini pada kebiasaannya disebut pelipatan (folding dalam bahasa Inggeris), dan nama lain bagi $\scriptstyle f_{s}/2$ (iaitu frekuensi Nyquist) ialah frekuensi melipat. Pelipatan selalunya diperhatikan semasa memperlihatkan spektrum frekuensi bagi sampel-sampel bernilai sebenar menggunakan jelmaan Fourier diskret.

Dua sinusoid kompleks, berwarna emas dan sian, yang muat dalam set titik sampel sebenar dan khayalan yang sama apabila disampelkan pada kadar (f_s) yang ditunjukkan oleh garisan grid. Di sini

\scriptstyle f_{\mathrm {cyan} }=f_{\mathrm {alias} }(1)=f_{\mathrm {gold} }-1\cdot f_{s}.\,

Sinusoid kompleks

Sinusoid kompleks ialah bentuk gelombang yang sampelnya adalah nombor kompleks, dan konsep frekuensi negatif perlu untuk mengasingkan satu sinusoid dengan yang lain. Di sini frekuensi bagi alias hanyalah: $f_{\mathrm {alias} }(N)=f-Nf_{\mathrm {s} }$ . Jadi, semakin $\scriptstyle f$ meningkat daripada $\scriptstyle f_{s}/2$ hingga $\scriptstyle f_{s}$ , $\scriptstyle f_{\mathrm {alias} }(1)$ meningkat daripada $\scriptstyle -f_{s}/2$ hingga 0. Lantaran itu, sinusoid kompleks tidak mempamerkan pelipatan. Sampel kompleks bagi sinusoid bernilai sebenar mempunyai bahagian khayalan kosong dan mempamerkan pelipatan.

Frekuensi sampel

Lukisan 4 bentuk gelombang yang dihasilkan semula daripada sampel yang diambil daripada enam kadar berlainan. Dua daripadanya disampelkan secukupnya supaya tiada pengaliasan pada kesemua enam kadar. Dua lagi menunjukkan herotan (pengaliasan) meningkat di kadar yang lebih rendah.

Apabila syarat $\scriptstyle f_{s}/2\ >\ f$ dipenuhi untuk komponen frekuensi tertinggi bagi isyarat asal, maka syarat tersebut turut dipenuhi oleh semua komponen frekuensi yang lain, iaitu syarat yang dikenali sebagai kriteria Nyquist. Bagi mendapatkan hasil terdekat seperti yang disyaratkan, biasanya isyarat asal akan ditapis supaya komponen berfrekuensi tinggi dilemahkan sebelum disampelkan. Komponen berfrekuensi tinggi yang dilemahkan ini masih menghasilkan alias berfrekuensi rendah, namun selalunya amplitudnya cukup lemah hingga tidak membawa masalah. Penapis yang diguna untuk mendapatkan frekuensi sampel tertentu disebut penapis antialias.

Isyarat yang sudah ditapis kemudiannya boleh dihasilkan semula, menerusi algoritma penentudalaman, tanpa herotan tambahan yang ketara. Kebanyakan isyarat tersampel tidak disimpan dan dihasilkan semula begitu saja. Tetapi darjah ketepatan penghasilan semula teori (menerusi formula penentudalaman Whittaker–Shannon) adalah ukuran lazim keberkesanan pensampelan.

Pengaliasan sudut

Pengaliasan akan berlaku apabila penggunaan unsur-unsur diskret untuk menangkap dan menghasilkan isyarat terus menyebabkan ketaksaan frekuensi.

Pengaliasan ruang, khususnya frekuensi sudut, boleh berlaku apabila menghasilkan semula medan cahaya^[4] atau medan bunyi dengan unsur-unsur diskret, seperti dalam paparan 3D atau sintesis medan gelombang bunyi.

Lihat juga

Kesan roda gerabak

Rujukan

^ Mitchell, Don P.; Netravali, Arun N. (August 1988). "Reconstruction filters in computer-graphics". ACM SIGGRAPH International Conference on Computer Graphics and Interactive Techniques. 22. m/s. 221–228. doi:10.1145/54852.378514. ISBN 0-89791-275-6. http://www.mentallandscape.com/Papers_siggraph88.pdf.
^ Tessive, LLC (2010)."Time Filter Technical Explanation"
^ harris, frederic j. (Aug 2006). Multirate Signal Processing for Communication Systems. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall PTR. ISBN 0-13-146511-2.
^ The (New) Stanford Light Field Archive

Bacaan lanjut

(Inggeris) Matt Pharr; Greg Humphreys (28 June 2010). "Sampling and reconstruction". Physically Based Rendering: From Theory to Implementation. Morgan Kaufmann. m/s. 323–420. ISBN 978-0-12-375079-2.
(Inggeris) Aliasing by a sampling oscilloscope di YouTube oleh Tektronix Application Engineer
(Inggeris) Primer Penapis Anti-Pengaliasan oleh La Vida Leica yang membincangkan tujuan dan kesannya terhadap imej yang direkod.
(Inggeris) Demonstrasi Pengaliasan Frekuensi oleh Burton MacKenZie menggunakan animasi bingkai dan jam.
(Inggeris) Contoh-contoh interaktif yang menunjukkan kesan pengaliasan

[mitchell-1] Mitchell, Don P.; Netravali, Arun N. (August 1988). "Reconstruction filters in computer-graphics". ACM SIGGRAPH International Conference on Computer Graphics and Interactive Techniques. 22. m/s. 221–228. doi:10.1145/54852.378514. ISBN 0-89791-275-6. http://www.mentallandscape.com/Papers_siggraph88.pdf.

[tessive-2] Tessive, LLC (2010)."Time Filter Technical Explanation"

[harris-3] rris, frederic j. (Aug 2006). Multirate Signal Processing for Communication Systems. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall PTR. ISBN 0-13-146511-2.

[4] The (New) Stanford Light Field Archive

[1]

[2]

[3]

[4]