Nombor alif

"ℵ" dilencongkan ke sini. Untuk abjad, sila lihat Alif (abjad Samiah). Untuk kegunaan lain, sila lihat Aleph (nyahkekaburan) dan Alef (nyahkekaburan).

Dalam matematik, terutamanya dalam teori set, nombor alif (Jawi: نومبور اليف‎) ialah jujukan nombor yang digunakan untuk mewakili kekardinalan (atau saiz) set tak terhingga yang boleh disusun rapi. Ia diperkenalkan oleh ahli matematik Georg Cantor dan dinamakan sempena simbol yang digunakan beliau untuk menandakannya itu, ialah huruf Ibrani alif (ℵ).

Alif-sifar, alif-kosong, atau alif-nol, ialah nombor kardinal tak terhingga yang terkecil

Kekardinalan bagi nombor asli ialah ℵ₀ (dibaca alif-sifar, alif-kosong, atau alif-nol), kekardinalan set tersusun rapi yang lebih besar berikutnya ialah alif-satu ℵ₁, kemudiannya alif-dua ℵ₂ dan seterusnya. Dengan meneruskan cara ini, adalah mungkin untuk mentakrifkan nombor kardinal ℵ_α (dibaca ia alif-alfa) bagi setiap nombor ordinal α, seperti yang diterangkan di bawah.

Konsep dan tatatanda ini adalah hasil daripada Georg Cantor, yang mentakrifkan tanggapan kekardinalan dan menyedari bahawa set tak terhingga boleh mempunyai kekardinalan yang berbeza.

Nombor alif berbeza daripada infiniti (∞) yang biasa ditemui dalam algebra dan kalkulus, di mana alif mengukur saiz set, manakala infiniti biasanya ditakrifkan sama ada sebagai had ekstrem garis nombor nyata (digunakan pada fungsi atau jujukan yang "mencapah ke infiniti" atau "meningkat tanpa batas"), atau sebagai titik ekstrem garis nombor nyata lanjutan.

Alif-sifar

ℵ₀ ialah kekardinaan set semua nombor asli, dan merupakan kardinal tak terhingga. Set semua ordinal terhingga, dipanggil ω atau ω₀ (di mana ω ialah huruf kecil Yunani bagi huruf omega), mempunyai kekardinalan ℵ₀. Suatu set mempunyai kekardinalan ℵ₀ jika dan hanya jika ia tak terhingga terbilang, iaitu, terdapat bijeksi (kesepadanan satu ke satu) antara ia dan nombor asli. Contoh set sedemikian ialah

• set nombor asli, tidak kira sama ada termasuk atau tidak termasuk sifar,
• set semua integer,
• sebarang subset tak terhingga integer, seperti set semua nombor kuasa dua atau set semua nombor perdana,
• set semua nombor nisbah,
• set semua nombor boleh bina (dalam erti kata geometri),
• set semua nombor algebra,
• set semua nombor boleh hitung,
• set semua fungsi boleh hitung,
• set semua rentetan dedua dengan panjang terhingga, dan
• set semua subset terhingga bagi sebarang set tak terhingga terbilang yang diberikan.

Ordinal tak terhingga ini: ω, ω + 1, ω⋅2, ω² adalah antara set tak terhingga terbilang. Sebagai contoh, jujukan (dengan keordinalan ω⋅2) semua integer ganjil positif diikuti oleh semua integer genap positif.

{1, 3, 5, 7, 9, ...; 2, 4, 6, 8, 10, ...}

ialah suatu susunan set (dengan kekardinalan ℵ₀) integer positif.

Jika aksiom pilihan terhitung (versi aksiom pilihan yang lebih lemah) dipegang, maka ℵ₀ adalah lebih kecil daripada sebarang kardinal tak terhingga yang lain, dan oleh itu adalah ordinal tak terhingga yang terkecil (unik).

Alif-satu

"Alif Satu" dilencongkan ke sini. Untuk kegunaan lain, sila lihat Alif Satu (nyahkekaburan).

ℵ₁, secara definisi, ialah kekardinalan set semua nombor ordinal yang boleh dibilang. Set ini dilambangkan dengan ω₁ (atau kadangkala Ω). Set ω₁ itu sendiri adalah nombor ordinal yang lebih besar daripada semua yang boleh dibilang, jadi ia adalah set tak terbilang. Oleh itu, ℵ₁ adalah berbeza daripada ℵ₀. Definisi ℵ₁ mengimplikasikan (dalam ZF, teori set Zermelo–Fraenkel tanpa aksiom pilihan) bahawa tiada nombor kardinal antara ℵ₀ dan ℵ₁. Jika aksiom pilihan digunakan, ia boleh dibuktikan lebih lanjut bahawa kelas nombor kardinal adalah tersusun sepenuhnya, dan dengan itu ℵ₁ adalah nombor kardinal tak terhingga kedua terkecil. Salah satu sifat set ω₁ yang paling berguna boleh ditunjukkan: Sebarang subset terbilang bagi ω₁ mempunyai batas atas dalam ω₁ (ini berikutan daripada fakta bahawa penyatuan sebuah nombor terbilang daripada set terbilang itu sendiri adalah boleh dibilang). Fakta ini adalah serupa dengan situasi dalam ℵ₀: Setiap set terhingga nombor asli mempunyai maksimum yang juga merupakan nombor asli, dan penyatuan terhingga bagi set terhingga adalah terhingga.

Ordinal ω₁ sebenarnya merupakan konsep yang berguna, walaupun kedengaran agak eksotik. Contoh aplikasi adalah menutup berkenaan dengan operasi terbilang; contohnya, cuba menerangkan secara eksplisit σ-algebra yang dijana oleh koleksi subset sebarangan (lihat pada contohnya hierarki Borel). Ini lebih sukar daripada kebanyakan penerangan eksplisit tentang penjanaan dalam algebra (ruang vektor, kumpulan, dsb.) kerana dalam kes tersebut kita hanya perlu menutup berkenaan dengan operasi terhingga - jumlah, hasil darab, dsb. Proses ini melibatkan pentakrifan, bagi setiap ordinal terbilang, melalui aruhan transterhingga, satu set dengan membuang masuk semua kesatuan terbilang dan pelengkap yang mungkin, dan mengambil kesatuan semua itu ke atas semua ω₁.

Hipotesis kontinum

Rencana utama: Hipotesis kontinum

Lihat juga: Nombor bet

Kekardinalan set nombor nyata (kekardinalan kontinum) ialah 2^ℵ₀. Ia tidak dapat ditentukan daripada ZFC (teori set Zermelo–Fraenkel yang ditambah dengan aksiom pilihan) di mana nombor ini suat dengan tepat dalam hierarki nombor alif, tetapi ia berikutan daripada ZFC bahawa hipotesis kontinum (HK) adalah bersamaan dengan identiti

2^ℵ₀ = ℵ₁.

HK menyatakan bahawa tiada set yang kekardinalannya berada tepat di antara kekardinalan integer dan nombor nyata. HK adalah bebas daripada ZFC: Ia tidak boleh dibuktikan mahupun disangkal dalam konteks sistem aksiom tersebut (dengan syarat bahawa ZFC adalah tekal). Bahawa HK adalah tekal dengan ZFC telah ditunjukkan oleh Kurt Gödel pada tahun 1940, apabila beliau menunjukkan bahawa penafiannya bukanlah teorem ZFC. Bahawa ia bebas daripada ZFC telah ditunjukkan oleh Paul Cohen pada tahun 1963, apabila beliau menunjukkan sebaliknya bahawa HK itu sendiri bukanlah teorem ZFC - dengan kaedah (ketika itu baharu) pemaksaan.

Alif-omega

Alif-omega ialah

ℵ_ω = sup{ ℵ_n | n ∈ ω } = sup{ ℵ_n | n ∈ {0, 1, 2, ...} }

di mana ordinal tak terhingga terkecil dilambangkan sebagai ω. Iaitu, nombor kardinal ℵ_ω ialah batas atas terkecil bagi

{ ℵ_n | n ∈ {0, 1, 2, ...} }.

Terutama ℵ_ω ialah nombor kardinal tak terbilang pertama yang boleh ditunjukkan dalam teori set Zermelo–Fraenkel yang tidak sama dengan kekardinalan set semua nombor nyata 2^ℵ₀: Bagi sebarang nombor asli n ≥ 1, kita dengan tekal boleh anggap bahawa 2^ℵ₀ = ℵ_n, dan lebih-lebih lagi adalah mungkin untuk menganggap bahawa 2^ℵ₀ adalah sekurang-kurangnya sebesar mana-mana nombor kardinal yang kita suka. Sekatan utama yang dikenakan oleh ZFC pada nilai 2^ℵ₀ adalah ia tidak boleh sama dengan kardinal khas tertentu dengan kofinaliti ℵ₀. Kardinal tak terbilang tak terhingga κ yang mempunyai kofinaliti ℵ₀ bermaksud terdapat jujukan (panjang terbilang) κ₀ ≤ κ₁ ≤ κ₂ ≤ ... bagi kardinal κ_i < κ yang hadnya (iaitu batas atas terkecilnya) ialah κ (lihat teorem Easton). Mengikut takrifan di atas, ℵ_ω ialah had jujukan kardinal lebih kecil yang panjangnya terbilang.

Alif-α untuk α umum

Untuk mentakrifkan ℵ_α bagi nombor ordinal α sebarangan, kita mesti mentakrifkan operasi kardinal pengganti, yang memberikan kepada sebarang nombor kardinal ρ kardinal tersusun rapi ρ⁺ yang lebih besar berikutnya (jika aksiom pilihan dipegang, ini adalah kardinal (unik) yang lebih besar berikutnya).

Kita kemudian boleh mentakrifkan nombor alif seperti berikut:

ℵ₀ = ω

ℵ_α+1 = (ℵ_α)⁺

ℵ_λ = ⋃{ ℵ_α | α < λ } bagi λ suatu ordinal had tak terhingga,

Ordinal awal tak terhingga ke-α ditulis ω_α. Kekardinalannya ditulis ℵ_α.

Secara tidak formal, fungsi alif ℵ: On → Cd ialah suatu bijeksi daripada ordinal kepada kardinal tak terhingga. Secara formal, dalam ZFC, ℵ bukanlah suatu fungsi, tetapi kelas seperti fungsi, kerana ia bukanlah set (disebabkan oleh paradoks Burali-Forti).

Titik tetap omega

Bagi mana-mana ordinal α kita mendapati

α ≤ ω_α.

Dalam banyak kes, ω_α adalah lebih besar daripada α. Sebagai contoh, ia adalah benar bagi sebarang ordinal pengganti: α + 1 < ω_α+1 dipegang. Walau bagaimanapun, terdapat beberapa ordinal had yang merupakan titik tetap bagi fungsi omega, kerana lema titik tetap bagi fungsi normal. Yang pertama sedemikian ialah had jujukan

ω, ω_ω, ω_ωω, ...,

dimana ia kadangkala dilambangkan dengan ω_ω....

Sebarang kardinal tak tercapai lemah juga merupakan titik tetap bagi fungsi alif. Ini boleh ditunjukkan dalam ZFC seperti berikut. Andaikan κ = ℵ_λ ialah suatu kardinal tak tercapai lemah. Jika λ ialah suatu ordinal pengganti, maka ℵ_λ akan menjadi kardinal pengganti dan dengan itu bukan tak tercapai lemah. Jika λ ialah suatu ordinal had kurang daripada κ maka kofinalitinya (dan dengan itu kofinaliti ℵ_λ) akan kurang daripada κ dan dengan itu κ tidak akan sekata dan juga dengan itu bukan tak tercapai lemah. Jadi λ ≥ κ dan kesannya λ = κ yang menjadikannya titik tetap.

Peranan aksiom pilihan

Kekardinalan bagi sebarang nombor ordinal tak terhingga ialah nombor alif. Setiap alif ialah kekardinalan bagi sebebrapa ordinal. Yang terkecil daripada ini ialah ordinal awalnya. Sebarang set yang kekardinalannya ialah suatu alif adalah sama banyak dengan suatu ordinal dan dengan itu boleh disusun rapi.

Setiap set terhingga boleh disusun rapi, tetapi tidak mempunyai alif sebagai kekardinalannya.

Mengenai ZF, andaian bahawa kekardinalan setiap set tak terhingga ialah nombor alif adalah bersamaan dengan kewujudan susunan rapi bagi setiap set, yang seterusnya bersamaan dengan aksiom pilihan. Teori set ZFC, yang merangkumi aksiom pilihan, menyatakan bahawa setiap set tak terhingga mempunyai nombor alif sebagai kekardinalannya (iaitu sama banyak dengan ordinal awalnya), dan dengan itu ordinal awal bagi nombor alif berfungsi sebagai kelas wakil untuk semua kemungkinan nombor kardinal tak terhingga.

Apabila kekardinalan dikaji dalam ZF tanpa aksiom pilihan, tidak lagi mungkin untuk membuktikan bahawa setiap set tak terhingga mempunyai beberapa nombor alif sebagai kekardinalannya; set yang kekardinalannya ialah nombor alif adalah tepat set tak terhingga yang boleh disusun rapi. Kaedah helah Scott kadangkala digunakan sebagai cara alternatif untuk membina wakil bagi nombor kardinal dalam tetapan ZF. Sebagai contoh, seseorang boleh mentakrifkan kad(S) sebagai set bagi set dengan kekardinalan yang sama dengan S untuk pangkat minimum yang mungkin. Ini mempunyai sifat bahawa kad(S) = kad(T) jika dan hanya jika S dan T mempunyai kekardinalan yang sama. (Set kad(S) tidak mempunyai kekardinalan S yang sama secara umum, tetapi semua elemennya berpunya.)

Lihat juga

• Fungsi gimel
• Kardinal biasa
• Ketakterhinggaan
• Nombor bet
• Nombor ordinal
• Nombor transterhingga

Pautan luar

• Hazewinkel, Michiel, penyunting (2001), "Aleph-zero", Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
• Eric W. Weisstein, Aleph-0 di MathWorld.