Pemalar Boltzmann

Boltzmann constant
Boltzmann constant
	Ludwig Boltzmann, nama pemalar
Smbol:	kB
Nilai dalam joule per kelvin:	1.380649×10−23 J.K-1

Pemalar Boltzmann (Jawi: ‏ڤمالر بولتزمن‎code: ms is deprecated ‎; $k B$ atau $k$ ) ialah faktor kekadaran yang mengaitkan purata tenaga haba relatif zarah dalam gas dengan suhu termodinamik gas.^[2] Ia berlaku dalam takrifan kelvin dan pemalar gas, dan dalam hukum Planck tentang sinaran jasad hitam dan formula entropi Boltzmann, dan digunakan dalam mengira hingar haba dalam perintang. Pemalar Boltzmann mempunyai dimensi tenaga dibahagikan dengan suhu, sama seperti entropi. Ia dinamakan sempena saintis Austria Ludwig Boltzmann.

Sebagai sebahagian daripada takrifan semula unit asas SI 2019, pemalar Boltzmann ialah salah satu daripada tujuh "pemalar penentu" yang telah diberikan takrifan yang tepat. Ia digunakan dalam pelbagai kombinasi untuk mentakrifkan tujuh unit asas SI. Pemalar Boltzmann ditakrifkan tepat 6977138064900000000♠1.380649×10⁻²³ J.K^-1.^[1]

Peranan pemalar Boltzmann

Secara makroskopik, hukum gas unggul menyatakan bahawa, untuk gas unggul, hasil darab tekanan $p$ dan isipadu $V$ adalah berkadar dengan hasil darab bahan $n$ dan suhu mutlak $T$ : $pV=nRT,$ dengan $R$ ialah pemalar gas molar (7000831446261815324♠8.31446261815324 J⋅K⁻¹⋅mol⁻¹).^[3] Memperkenalkan pemalar Boltzmann sebagai pemalar gas setiap molekul^[4] $k = R / N A$ mengubah hukum gas unggul kepada bentuk alternatif: $pV=NkT,$ dengan $N$ ialah bilangan molekul gas.

Peranan dalam kesetaraan tenaga

Dengan mempertimbangkan sistem termodinamik pada suhu mutlak $T$ , tenaga haba purata yang dibawa oleh setiap darjah kebebasan mikroskopik dalam sistem ialah $1 / 2 k T$ (iaitu, kira-kira 6979206999999999999♠2.07×10⁻²¹ J, atau 0.013 eV, pada suhu bilik). Ini secara amnya benar hanya untuk sistem klasik dengan sejumlah besar zarah, dan apabila kesan kuantum boleh diabaikan.

Dalam mekanik statistik klasik, purata ini diramalkan akan kekal tepat untuk gas unggul homogen. Gas unggul monoatom (enam gas adi) mempunyai tiga darjah kebebasan bagi setiap atom, sepadan dengan tiga arah spatial. Mengikut kesetaraan tenaga ini bermakna terdapat tenaga haba sebanyak $3 / 2 k T$ per atom. Ini sepadan dengan data eksperimen. Tenaga haba boleh digunakan untuk mengira punca min kuasa dua bagi kelajuan atom, yang ternyata berkadar songsang dengan punca kuasa dua jisim atom. Punca min kuasa dua bagi kelajuan yang ditemui pada suhu bilik mencerminkan perkara ini dengan tepat, antara 1370 m/s untuk helium, hingga 240 m/s untuk xenon.

Teori kinetik memberikan tekanan purata $p$ untuk gas unggul sebagai $p={\frac {1}{3}}{\frac {N}{V}}m{\overline {v^{2}}}.$ Gabungan dengan undang-undang gas unggul $pV=NkT$ menunjukkan bahawa purata tenaga kinetik translasi ialah ${\tfrac {1}{2}}m{\overline {v^{2}}}={\tfrac {3}{2}}kT.$ Memandangkan vektor halaju gerakan translasi $v$ mempunyai tiga darjah kebebasan (satu untuk setiap dimensi) memberikan tenaga purata setiap darjah kebebasan sama dengan satu pertiga daripadanya, iaitu $1 / 2 k T$ .

Persamaan gas unggul juga dipatuhi dengan teliti oleh gas molekul; tetapi bentuk kapasiti haba adalah lebih rumit, kerana molekul mempunyai darjah kebebasan dalaman tambahan, serta tiga darjah kebebasan untuk pergerakan molekul secara keseluruhan. Gas dwiatom, sebagai contoh, mempunyai sejumlah enam darjah kebebasan ringkas setiap molekul yang berkaitan dengan gerakan atom (tiga translasi, dua putaran, dan satu getaran). Pada suhu yang lebih rendah, tidak semua darjah kebebasan ini boleh mengambil bahagian sepenuhnya dalam kapasiti haba gas, disebabkan oleh had mekanikal kuantum pada ketersediaan keadaan teruja pada tenaga haba yang berkaitan bagi setiap molekul.

Peranan dalam faktor Boltzmann

Secara umum, sistem dalam keseimbangan pada suhu $T$ mempunyai kebarangkalian $P i$ untuk menduduki keadaan i dengan tenaga $E$ ditimbang oleh faktor Boltzmann yang sepadan : $P_{i}\propto {\frac {\exp \left(-{\frac {E}{kT}}\right)}{Z}},$ dan $Z$ ialah fungsi pemetakan. Sekali lagi, kuantiti seperti tenaga $k T$ yang mengambil kepentingan utama.

Akibat daripada ini termasuk (sebagai tambahan kepada keputusan untuk gas unggul di atas) persamaan Arrhenius dalam kinetik kimia.

Peranan dalam takrifan statistik entropi

Kubur Boltzmann di Zentralfriedhof, Vienna, dengan formula entropi.

Dalam mekanik statistik, entropi $S$ bagi sistem terpencil pada keseimbangan termodinamik ditakrifkan sebagai logaritma semula jadi $W$ , bilangan keadaan mikroskopik berbeza yang tersedia untuk sistem yang diberi kekangan makroskopik (seperti jumlah tenaga tetap $E$ ): $S=k\,\ln W.$ Persamaan ini, yang mengaitkan butiran mikroskopik, atau keadaan mikro, sistem (melalui $W$ ) dengan keadaan makroskopiknya (melalui entropi $S$ ), ialah gagasan utama mekanik statistik. Begitu penting, ia ditulis pada batu nisan Boltzmann.

Pemalar kekadaran $k$ berfungsi untuk menjadikan entropi mekanik statistik sama dengan entropi termodinamik klasik Clausius : $\Delta S=\int {\frac {{\rm {d}}Q}{T}}.$ Seseorang sebaliknya boleh memilih entropi tak berdimensi berskala semula dalam istilah mikroskopik sedemikian ${S'=\ln W},\quad \Delta S'=\int {\frac {\mathrm {d} Q}{kT}}.$ Inilah bentuk yang lebih semula jadi dan entropi berskala semula ini betul-betul sepadan dengan entropi maklumat Shannon berikutnya.

Oleh itu, tenaga ciri $kT$ ialah tenaga yang diperlukan untuk meningkatkan entropi berskala semula sebanyak satu nat.

Voltan haba

Dalam semikonduktor, persamaan diod Shockley —hubungan antara aliran arus elektrik dan keupayaan elektrostatik merentasi persimpangan p–n —bergantung pada voltan ciri yang dipanggil voltan terma atau voltan haba, dilambangkan dengan $V T$ . Voltan haba bergantung pada suhu mutlak $T$ sepertimana $V_{\mathrm {T} }={kT \over q}={RT \over F},$ manakala $q$ ialah magnitud cas elektrik pada elektron dengan nilai 1.602176 634 × 10⁻¹⁹ C. Secara setara, ${V_{\mathrm {T} } \over T}={k \over q}\approx 8.617333262\times 10^{-5}\ \mathrm {V/K} .$ Pada suhu bilik 300 K (27 °C; 80 °F), $V T$ ialah lebih kurang 7001258500000000000♠25.85^[5] yang boleh diperoleh dengan memasukkan nilai seperti berikut: $V_{\mathrm {T} }={kT \over q}={\frac {1.38\times 10^{-23}\ \mathrm {J{\cdot }K^{-1}} \times 300\ \mathrm {K} }{1.6\times 10^{-19}\ \mathrm {C} }}\simeq 25.85\ \mathrm {mV}$ Pada suhu keadaan piawai 298.15 K (25.00 °C; 77.00 °F), ia lebih kurang 7001256900000000000♠25.69 mV. Voltan haba juga penting dalam plasma dan larutan elektrolit (cth persamaan Nernst); dalam kedua-dua kes tersebut, ia memberikan ukuran berapa banyak taburan ruang elektron atau ion dipengaruhi oleh sempadan yang dipegang pada voltan tetap.^[6]^[7]

Sejarah

Pemalar Boltzmann dinamakan sempena penemu Austria abad ke-19, Ludwig Boltzmann. Walaupun Boltzmann pertama kali mengaitkan entropi dan kebarangkalian pada tahun 1877, hubungan itu tidak pernah dinyatakan dengan pemalar tertentu sehingga Max Planck mula-mula memperkenalkan $k$ , dan memberikan nilai yang lebih tepat untuknya (6977134600000000000♠1.346×10⁻²³ J/K, kira-kira 2.5% lebih rendah daripada angka hari ini), dalam terbitan hukum sinaran jasad hitam pada 1900–1901.^[8] Sebelum tahun 1900, persamaan yang melibatkan faktor Boltzmann tidak ditulis menggunakan tenaga bagi setiap molekul dan pemalar Boltzmann sebaliknya menggunakan bentuk pemalar gas, dan tenaga makroskopik untuk kuantiti makroskopik bahan tersebut. Bentuk ringkas ikonik persamaan $S = k ln W$ pada batu nisan Boltzmann sebenarnya disebabkan oleh Planck, bukan Boltzmann. Planck sebenarnya memperkenalkannya dalam karya yang sama dengan eponimnya $h$ .^[9]

Pada tahun 1920, Planck menulis dalam syarahan Hadiah Nobelnya:^[10]

Pemalar ini sering dirujuk sebagai pemalar Boltzmann, walaupun, pada pengetahuan saya, Boltzmann sendiri tidak pernah memperkenalkannya - keadaan yang pelik, yang boleh dijelaskan oleh fakta bahawa Boltzmann, seperti yang kelihatan dari ucapannya sekali sekala, tidak pernah memikirkan tentang kemungkinan menjalankan pengukuran yang tepat bagi pemalar tersebut.

"Keadaan pelik" ini digambarkan dengan merujuk kepada salah satu perbahasan saintifik yang hebat pada masa itu. Terdapat perselisihan yang besar pada separuh kedua abad kesembilan belas sama ada atom dan molekul adalah nyata atau sama ada ia hanya alat heuristik untuk menyelesaikan masalah. Tidak ada persetujuan sama ada molekul kimia, seperti yang diukur dengan berat atom, adalah sama dengan molekul fizikal, seperti yang diukur oleh teori kinetik. Kuliah Planck 1920 melanjutkan:^[10]

Tiada apa-apa yang dapat menggambarkan dengan lebih baik kadar kemajuan yang positif dan kesibukan yang telah dicapai oleh seni penguji selama dua puluh tahun yang lalu, dengan hakikat bahawa sejak itu, bukan sahaja satu, tetapi sejumlah besar kaedah telah ditemui untuk mengukur jisim molekul dengan ketepatan yang hampir sama seperti yang dicapai untuk sesebuah planet.

Dalam versi SI sebelum takrifan semula unit asas SI 2019, pemalar Boltzmann ialah kuantiti yang diukur dan bukannya nilai tetap. Takrifan tepatnya juga berubah-ubah selama bertahun-tahun disebabkan takrifan semula kelvin (lihat Kelvin § Sejarah) dan unit asas SI lain (lihat Joule).

Pada tahun 2017, ukuran pemalar Boltzmann yang paling tepat diperolehi oleh termometri gas akustik, yang menentukan kelajuan bunyi gas monatom dalam ruang elipsoid triaksial menggunakan gelombang mikro dan resonans akustik.^[11]^[12] Usaha selama sedekad ini dilakukan dengan teknik yang berbeza oleh beberapa makmal; ^[a] ia merupakan salah satu asas kepada takrifan semula unit asas SI 2019. Berdasarkan ukuran ini, CODATA mengesyorkan 6977138064900000000♠1.380649×10⁻²³ J/K ialah nilai tetap akhir pemalar Boltzmann yang akan digunakan untuk Sistem Unit Antarabangsa.^[13]

Nilai dalam unit yang berbeza

Nilai k	Unit	Ulasan
6977138064900000000♠1.380649×10⁻²³	J / K	SI mengikut takrifan, J/K = m ² ⋅kg/(s ² ⋅K) dalam unit asas SI
6995861733326200000♠8.617333262×10⁻⁵	eV /K	†
7010208366191200000♠2.083661912×10¹⁰	Hz / K	( $k / h$ ) †
6984138064900000000♠1.380649×10⁻¹⁶	erg /K	Sistem CGS, 1 erg = 7000100000000000000♠1
6976329762348299999♠3.297623483×10⁻²⁴	cal /K	† 1 kalori = 7000418680000000000♠4.1868
6976183201304599999♠1.832013046×10⁻²⁴	cal/ °R	†
6976565730246599999♠5.657302466×10⁻²⁴	kaki<span typeof="mw:Entity" id="mwASk"> </span>lb /°R	†
6999695034800000000♠0.695034800	cm⁻¹	( $k /(hc)$ ) †
6994316681156300000♠3.166811563×10⁻⁶	E _h / K	(E _h = hartree)
6997198720425900000♠1.987204259×10⁻³	kcal /(mol ⋅K)	( $kN A$ ) †
6960153617918699999♠1.536179187×10⁻⁴⁰	kJ/(mol⋅K)	( $kN A$ ) †
2997771400832800000♠−228.5991672	dB (W/K/Hz)	$10 log 10 (k /(1 W/K/Hz))$ ,† digunakan untuk pengiraan hingar terma
6960153617918699999♠1.536179187×10⁻⁴⁰	kg/K	$k / c 2$ , dengan c ialah kelajuan cahaya^[14]

†Nilai adalah tepat tetapi tidak boleh dinyatakan sebagai perpuluhan terhingga; dianggarkan kepada 9 tempat perpuluhan sahaja.

Memandangkan $k$ ialah faktor perkadaran antara suhu dan tenaga, nilai berangkanya bergantung pada pilihan unit untuk tenaga dan suhu. Nilai berangka kecil pemalar Boltzmann dalam unit SI bermaksud perubahan suhu sebanyak 1 K hanya mengubah tenaga zarah dengan jumlah yang kecil. Perubahan 7002274149999999999♠1 °C ditakrifkan sama dengan perubahan 7000100000000000000♠1 K. Tenaga ciri $kT$ ialah istilah yang ditemui dalam banyak hubungan fizikal.

Pemalar Boltzmann menetapkan hubungan antara panjang gelombang dan suhu (membahagikan $hc/k$ dengan panjang gelombang memberikan suhu) dengan satu mikrometer berkaitan dengan 7004143877770000000♠14387.777 K, dan juga hubungan antara voltan dan suhu ( $kT$ dalam unit eV sepadan dengan voltan) dengan satu volt berkaitan dengan 7004116045180000000♠11604.518 K. Nisbah kedua-dua suhu ini, 7004143877770000000♠14387.777 K / 7004116045180000000♠11604.518 K ≈ 1.239842, ialah nilai berangka $hc$ dalam unit eV⋅μm.

Unit semula jadi

Pemalar Boltzmann menyediakan pemetaan daripada tenaga mikroskopik ciri E kepada skala suhu makroskopik $T = E / k$ . Dalam fizik asas, pemetaan ini sering dipermudahkan dengan menggunakan unit semula jadi untuk menetapkan $k$ kepada kesatuan. Konvensyen ini bermaksud bahawa suhu dan kuantiti tenaga mempunyai dimensi yang sama.^[15]^[16] Khususnya, unit SI kelvin menjadi berlebihan, ditakrifkan dari segi joule sebagai $1 K = 6977138064900000000♠ 1.380 649 \times 10 -23 J$ .^[17] Dengan konvensyen ini, suhu sentiasa diberikan dalam unit tenaga, dan pemalar Boltzmann tidak diperlukan secara eksplisit dalam formula.^[15]

Konvensyen ini memudahkan banyak hubungan fizikal dan rumus. Sebagai contoh, rumus kesetaraan untuk tenaga yang dikaitkan dengan setiap darjah kebebasan klasik ( ${\tfrac {1}{2}}kT$ di atas) menjadi $E_{\mathrm {dof} }={\tfrac {1}{2}}T$ Sebagai contoh lain, takrifan entropi termodinamik bertepatan dengan bentuk entropi maklumat : $S=-\sum _{i}P_{i}\ln P_{i}.$ dengan $P i$ ialah kebarangkalian bagi setiap keadaan mikro.

Lihat juga

Nota

^ Independent techniques exploited: acoustic gas thermometry, dielectric constant gas thermometry, johnson noise thermometry. Involved laboratories cited by CODATA in 2017: LNE-Cnam (France), NPL (UK), INRIM (Italy), PTB (Germany), NIST (USA), NIM (China).

Rujukan

^ ^a ^b Newell, David B.; Tiesinga, Eite (2019). The International System of Units (SI). NIST Special Publication 330. Gaithersburg, Maryland: National Institute of Standards and Technology. doi:10.6028/nist.sp.330-2019. S2CID 242934226 Check |s2cid= value (bantuan).
^ Richard Feynman (1970). The Feynman Lectures on Physics Vol I. Addison Wesley Longman. ISBN 978-0-201-02115-8.
^ "Proceedings of the 106th meeting" (PDF). 16–20 October 2017.
^ Petrucci, Ralph H.; Harwood, William S.; Herring, F. Geoffrey (2002). General Chemistry: Principles and Modern Applications (ed. 8th). Prentice Hall. m/s. 785. ISBN 0-13-014329-4.
^ Rashid, Muhammad H. (2016). Microelectronic circuits: analysis and design (ed. 3rd). Cengage Learning. m/s. 183–184. ISBN 9781305635166.
^ Kirby, Brian J. (2009). Micro- and Nanoscale Fluid Mechanics: Transport in Microfluidic Devices (PDF). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-11903-0.
^ Tabeling, Patrick (2006). Introduction to Microfluidics. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-856864-3.
^ Planck, Max (1901), "Ueber das Gesetz der Energieverteilung im Normalspectrum", Ann. Phys., 309 (3): 553–63, Bibcode:1901AnP...309..553P, doi:10.1002/andp.19013090310
^ Gearhart, Clayton A. (2002). "Planck, the Quantum, and the Historians". Physics in Perspective (dalam bahasa Inggeris). 4 (2): 177. Bibcode:2002PhP.....4..170G. doi:10.1007/s00016-002-8363-7. ISSN 1422-6944.
^ ^a ^b Planck, Max (2 June 1920), The Genesis and Present State of Development of the Quantum Theory (Nobel Lecture)
^ Pitre, L; Sparasci, F; Risegari, L; Guianvarc’h, C; Martin, C; Himbert, M E; Plimmer, M D; Allard, A; Marty, B (1 December 2017). "New measurement of the Boltzmann constant by acoustic thermometry of helium-4 gas" (PDF). Metrologia. 54 (6): 856–873. Bibcode:2017Metro..54..856P. doi:10.1088/1681-7575/aa7bf5. Diarkibkan daripada yang asal (PDF) pada 5 March 2019.
^ de Podesta, Michael; Mark, Darren F; Dymock, Ross C; Underwood, Robin; Bacquart, Thomas; Sutton, Gavin; Davidson, Stuart; Machin, Graham (1 October 2017). "Re-estimation of argon isotope ratios leading to a revised estimate of the Boltzmann constant" (PDF). Metrologia. 54 (5): 683–692. Bibcode:2017Metro..54..683D. doi:10.1088/1681-7575/aa7880.
^ Newell, D. B.; Cabiati, F.; Fischer, J.; Fujii, K.; Karshenboim, S. G.; Margolis, H. S.; Mirandés, E. de; Mohr, P. J.; Nez, F. (2018). "The CODATA 2017 values of h, e, k, and N A for the revision of the SI". Metrologia (dalam bahasa Inggeris). 55 (1): L13. Bibcode:2018Metro..55L..13N. doi:10.1088/1681-7575/aa950a. ISSN 0026-1394.
^ "CODATA Value: Kelvin-kilogram relationship".
^ ^a ^b Kalinin, M.; Kononogov, S. (2005). "Boltzmann's Constant, the Energy Meaning of Temperature, and Thermodynamic Irreversibility". Measurement Techniques. 48 (7): 632–636. doi:10.1007/s11018-005-0195-9. S2CID 118726162.
^ Kittel, Charles; Kroemer, Herbert (1980). Thermal physics (ed. 2nd). San Francisco: W. H. Freeman. m/s. 41. ISBN 0716710889. We prefer to use a more natural temperature scale... the fundamental temperature has the units of energy.
^ Mohr, Peter J.; Shirley, Eric L.; Phillips, William D.; Trott, Michael (1 October 2022). "On the dimension of angles and their units". Metrologia. 59 (5): 053001. arXiv:2203.12392. Bibcode:2022Metro..59e3001M. doi:10.1088/1681-7575/ac7bc2.

Pautan luar

Draf Bab 2 untuk Brosur SI, berikutan takrifan semula unit asas (disediakan oleh Jawatankuasa Perundingan untuk Unit)
Langkah besar ke arah mentakrifkan semula kelvin: Para saintis mencari cara baharu untuk menentukan pemalar Boltzmann

[13] Independent techniques exploited: acoustic gas thermometry, dielectric constant gas thermometry, johnson noise thermometry. Involved laboratories cited by CODATA in 2017: LNE-Cnam (France), NPL (UK), INRIM (Italy), PTB (Germany), NIST (USA), NIM (China).

[SI2019-1] Newell, David B.; Tiesinga, Eite (2019). The International System of Units (SI). NIST Special Publication 330. Gaithersburg, Maryland: National Institute of Standards and Technology. doi:10.6028/nist.sp.330-2019. S2CID 242934226 Check |s2cid= value (bantuan).

[Feynman1Ch39-10-2] Richard Feynman (1970). The Feynman Lectures on Physics Vol I. Addison Wesley Longman. ISBN 978-0-201-02115-8.

[3] "Proceedings of the 106th meeting" (PDF). 16–20 October 2017.

[4] Petrucci, Ralph H.; Harwood, William S.; Herring, F. Geoffrey (2002). General Chemistry: Principles and Modern Applications (ed. 8th). Prentice Hall. m/s. 785. ISBN 0-13-014329-4.

[5] Rashid, Muhammad H. (2016). Microelectronic circuits: analysis and design (ed. 3rd). Cengage Learning. m/s. 183–184. ISBN 9781305635166.

[Kirby-6] Kirby, Brian J. (2009). Micro- and Nanoscale Fluid Mechanics: Transport in Microfluidic Devices (PDF). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-11903-0.

[Tabeling-7] Tabeling, Patrick (2006). Introduction to Microfluidics. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-856864-3.

[Planck01-8] Planck, Max (1901), "Ueber das Gesetz der Energieverteilung im Normalspectrum", Ann. Phys., 309 (3): 553–63, Bibcode:1901AnP...309..553P, doi:10.1002/andp.19013090310

[9] Gearhart, Clayton A. (2002). "Planck, the Quantum, and the Historians". Physics in Perspective (dalam bahasa Inggeris). 4 (2): 177. Bibcode:2002PhP.....4..170G. doi:10.1007/s00016-002-8363-7. ISSN 1422-6944.

[PlanckNobel-10] Planck, Max (2 June 1920), The Genesis and Present State of Development of the Quantum Theory (Nobel Lecture)

[11] Pitre, L; Sparasci, F; Risegari, L; Guianvarc’h, C; Martin, C; Himbert, M E; Plimmer, M D; Allard, A; Marty, B (1 December 2017). "New measurement of the Boltzmann constant by acoustic thermometry of helium-4 gas" (PDF). Metrologia. 54 (6): 856–873. Bibcode:2017Metro..54..856P. doi:10.1088/1681-7575/aa7bf5. Diarkibkan daripada yang asal (PDF) pada 5 March 2019.

[12] Podesta, Michael; Mark, Darren F; Dymock, Ross C; Underwood, Robin; Bacquart, Thomas; Sutton, Gavin; Davidson, Stuart; Machin, Graham (1 October 2017). "Re-estimation of argon isotope ratios leading to a revised estimate of the Boltzmann constant" (PDF). Metrologia. 54 (5): 683–692. Bibcode:2017Metro..54..683D. doi:10.1088/1681-7575/aa7880.

[14] Newell, D. B.; Cabiati, F.; Fischer, J.; Fujii, K.; Karshenboim, S. G.; Margolis, H. S.; Mirandés, E. de; Mohr, P. J.; Nez, F. (2018). "The CODATA 2017 values of h, e, k, and N A for the revision of the SI". Metrologia (dalam bahasa Inggeris). 55 (1): L13. Bibcode:2018Metro..55L..13N. doi:10.1088/1681-7575/aa950a. ISSN 0026-1394.

[15] "CODATA Value: Kelvin-kilogram relationship".

[Kalinin-16] Kalinin, M.; Kononogov, S. (2005). "Boltzmann's Constant, the Energy Meaning of Temperature, and Thermodynamic Irreversibility". Measurement Techniques. 48 (7): 632–636. doi:10.1007/s11018-005-0195-9. S2CID 118726162.

[17] Kittel, Charles; Kroemer, Herbert (1980). Thermal physics (ed. 2nd). San Francisco: W. H. Freeman. m/s. 41. ISBN 0716710889. We prefer to use a more natural temperature scale... the fundamental temperature has the units of energy.

[18] Mohr, Peter J.; Shirley, Eric L.; Phillips, William D.; Trott, Michael (1 October 2022). "On the dimension of angles and their units". Metrologia. 59 (5): 053001. arXiv:2203.12392. Bibcode:2022Metro..59e3001M. doi:10.1088/1681-7575/ac7bc2.

[2]

[1]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[a]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

Boltzmann constant
Ludwig Boltzmann, nama pemalar
Smbol:	`k`_B
Nilai dalam joule per kelvin:	6977138064900000000♠1.380649×10⁻²³ J.K-1^[1]