Diżugwaljanza ta' Čebyšëv

Id-diżugwaljanza ta' Čebyšëv jew teorema ta' Čebyšëv hi diżugwaljanza użata l-iżjed fit-teorija tal-probabbiltà.

Id-diżugwaljanza kienet ippubblikata għall-ewwel darba fl-1853 minn Irenée-Jules Bienaymé u riskoperta indipendentement minn Pafnutij Čebyšëv xi ftit snin wara (għalhekk jgħidulha wkoll id-diżugwaljanza ta' Bienaymé-Čebyšëv ).

Id-diżugwaljanza ta' Čebyšëv tgħid li jekk il-varjabbli każwali (v.k.) $\ X$ għandha medja (aritmetika) $\ \mu$ u varjanza $\ \sigma ^{2}$ u $\ \lambda$ hu numru reali pożittiv, imbagħad il-probabbiltà li $\ X$ tieħu valur bejn $\ \mu -\lambda \sigma$ u $\ \mu +\lambda \sigma$ hi ikbar minn $\ 1-1/\lambda ^{2}$:

$\operatorname {P} (\mu -\lambda \sigma \leq X\leq \mu +\lambda \sigma )\geq \ 1-{\frac {1}{\lambda ^{2}}}.$

F'termini oħra din id-diżugwaljanza tiżgura li, indipendentement mid-distribuzzjoni tal-v.k., l-iżjed li tista' tkun il-probabbiltà li din tieħu valuri 'l bogħod mill-medja iżjed minn $\ \lambda$ darbiet id-devjazzjoni standard, hi $\ 1/\lambda ^{2}$:

$\operatorname {P} \left(|X-\mu |\geq \lambda \sigma \right)\leq {\frac {1}{\lambda ^{2}}}.$

Pereżempju jekk nieħdu $\ \lambda ={\sqrt {2}}$ naraw li mill-inqas nofs il-valuri huma fl-intervall $\ (\mu -{\sqrt {2}}\sigma ,\mu +{\sqrt {2}}\sigma )$. Ninnotaw li fil-każ $\ \lambda >1$ biss ikollna informazzjoni utli.

Tipikament, id-diżugwaljanza tagħtina limiti wiesa'. Imma in ġenerali (jiġifieri għal v.k. b'distribuzzjoni arbitrarja) ma nistgħux intejbuha. Pereżempju, għal kull $\ \lambda >1$, dan l-eżempju (fejn $\ \sigma =1/\lambda$) jilħaq il-limiti eżattament.

${\begin{aligned}\operatorname {P} (X=-1)&=1/(2\lambda ^{2}),\\\operatorname {P} (X=0)&=1-1/\lambda ^{2},\\\operatorname {P} (X=1)&=1/(2\lambda ^{2}).\end{aligned}}$

Għal din id-distribużżjoni,

$\operatorname {P} \left(\left|X-\mu \right|\geq \lambda \sigma \right)=1/\lambda ^{2}.\,$

Għandna ugwaljanza għal kull distribuzzjoni li hi trasformata linjari ta' din u diżugwaljanza għal kull waħda li mhijiex.

Fl-ambitu tal-istatistika deskrittiva id-diżugwaljanza tgħid li mill-inqas $\ 100(1-1/\lambda ^{2})$ fil-mija tal-valuri huma bejn $\ \mu -\lambda \sigma$ u $\ \mu +\lambda \sigma$. Minna nistgħu niddeduċu li indipendentement minn kif il-valuri huma distribwiti

• mill-inqas 75% tal-valuri huma bejn $\ \mu -2\sigma$ u $\ \mu +2\sigma ,$
• mill-inqas 88% tal-valuri huma bejn $\ \mu -3\sigma$ u $\ \mu +3\sigma ,$
• mill-inqas 93% tal-valuri huma bejn $\ \mu -4\sigma$ u $\ \mu +4\sigma .$

Prova

Għal kull ġrajja $\ A$, ħalli $\ I_{A}$ tkun il-v.k. indikatriċi ta' $\ A$, jiġifieri $\ I_{A}$ tiswa 1 jekk $\ A$ tiġri u 0 jekk ma' tiġriex. Imbagħad

${\begin{aligned}\operatorname {P} (|X-\mu |\geq k\sigma )&=\operatorname {E} (I_{|X-\mu |\geq k\sigma })=\operatorname {E} (I_{[(X-\mu )/(k\sigma )]^{2}\geq 1})\\&\leq \operatorname {E} \left(\left({X-\mu \over k\sigma }\right)^{2}\right)={1 \over k^{2}}{\operatorname {E} ((X-\mu )^{2}) \over \sigma ^{2}}={1 \over k^{2}}.\end{aligned}}$

Din il-prova turi għaliex il-limiti jistgħu ikunu wisgħin: in-numbru 1 hu sostitwit b' $\ [(X-\mu )/(k\sigma )]^{2}$ meta dan hu ikbar minn 1. Imma f'xi każi hu ħafna ikbar minn 1.

Noti

Portal Matematika