Serje ta' Fourier

Fil-matematika, serje ta' Fourier hi rappresentazzjoni ta' funzjoni perjodika (għas-semplicità nieħdu l-perijodu 2π) permezz ta' somma ta' funzjonijiet perjodiċi tal-forma

$x\mapsto e^{{\rm {i}}nx}$ ;

Minħabba l-formula ta' Euler, is-serje preċedenti nistgħu nesprimuha ekwivalentement permezz tal-funzjonijiet tas-senu u kosenu.

Dawn is-serje huma msemmijin għall-matematiku Franċiż Joseph Fourier (1768-1830), li kien l-ewwel li studja sistematikament dawn is-serje infiniti (qabel kienu l-oġġett ta' investigazzjoni preliminari minn Euler, d'Alembert u Daniel Bernoulli). Fourier applika dawn is-serje għas-soluzzjoni tal-ekwazzjoni tas-sħana, u ppubblika ir-riżultati inizjali tiegħu fl-1807 u fl-1811 u fl-ikbar xogħol tiegħu bit-titlu Théorie analytique de la chaleur fl-1822. Skont il-punto di vista modern, ir-riżultati ta' Fourier huma fuq livell xi ftit informali, minħabba l-fatt li l-matematika fis-seklu XIX kienet għadha ma żviluppatx nozzjoni preċiża ta' funzjoni u ta' integral. Kien biss wara n-nofs ta' dak is-seklu li Dirichlet u Riemann irriformulaw ir-riżultati ta' Fourier b'preċisjoni ogħla u f'forma iżjed soddisfaċenti.

Bil-mogħod daħlu ħafna forom oħra ta' trasformati marbutin ma' dik ta' Fourier. Dawn it-trasformati ġodda jintużaw għal applikazzjonijiet oħra u jestendu l-idea tal-bidu billi nirrappreżentaw kull funzjoni perjodika bħala sovrappożizzjoni ta' armoniċi. L-oqsma li issa huma miftuħin għal dan jagħmlu parti minn dil li ngħidulha analisi armonika.

Definizzjoni ta' serje ta' Fourier

Ejjew nikkonsidraw funzjoni ta' varjabbli reali b'valuri komplessi $\,f\,$ li hi perjodika b'perijodu $\ 2\pi$ u b'kwadrat integrabbli fuq l-intervall $\,[0,2\pi ]\,$. Niddefinixxu

$F_{n}:={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }\,f(x)\,e^{-{\rm {i}}nx}{\rm {d}}x.$ .

F'dal-każ ir-rappreżentazzjoni premess tas-serje ta' Fourier ta' $\,f\,$ tingħata minn

$f(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }F_{n}\,e^{{\rm {i}}nx}.$.

Kull wieħed mit-termini ta' din is-somma ngħidulu mod ta' Fourier. Fil-każ partikulari importanti fejn $\,f\,$ hi funzjoni ta' valuri reali, sikwit ikun utli li nużaw l-identità

$e^{inx}\,=\,\cos(nx)+{\rm {i}}\sin(nx)$

biex nirrappreżentaw $\,f\,$ ekwivalentement bħala kumbinazzjoni linjari infinita ta' funzjonijiet tal-forma $\,\cos(nx)\,$ u $\,\sin(nx)\,$, jiġifieri bħala

$f(x)={\frac {1}{2}}a_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }\left[a_{n}\cos(nx)+b_{n}\sin(nx)\right]$ ,

fejn

$a_{n}={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }{\rm {d}}x\,f(x)\cos(nx)\quad {\mbox{u}}\quad b_{n}={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }{\rm {d}}x\,f(x)\sin(nx)$ ;

din terġa' twassal għar-rappreżentazzjoni preċedenti permezz ta'

$\,F_{n}={\frac {a_{n}-{\rm {i}}b_{n}}{2}}\quad {\mbox{u}}\quad F_{n}=F_{-n}^{*}$ .

Eżempju

Nikkonsidraw il-funzjoni $\,f(x)=x\,$, il-funzjoni identità għal $\,x\in [-\pi ,\pi ]\,$. Jekk irridu nikkonsidraw l-żvilupp barra minn dan id-dominju, is-serje ta' Fourier teħtieġ impliċitament li din il-funzjoni tkun perjodika.

Irridu nikkalkulaw il-koeffiċjenti ta' Fourier ta' din il-funzjoni. Naraw mil-ewwel li $\,\cos(nx)\,$ hi funzjoni żewġija, waqt li l-f u $\,\sin(nx)\,$ huma funzjonijiet farradin.

$a_{0}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)dx={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }xdx=0$

$a_{n}={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)\cos(nx)dx={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }x\cos(nx)dx=0$

$b_{n}={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)\sin(nx)dx={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }x\sin(nx)dx$

$={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\pi }x\sin(nx)dx={\frac {2}{\pi }}\left(\left[-{\frac {x\cos(nx)}{n}}\right]_{0}^{\pi }+\left[{\frac {\sin(nx)}{n^{2}}}\right]_{0}^{\pi }\right)=(-1)^{n+1}{\frac {2}{n}}$

Mela s-serje ta' Fourier għall-funzjoni li qegħdin neżaminaw hi:

$f(x)=x=a_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}\cos(nx)+b_{n}\sin(nx))$

$=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}{\frac {2}{n}}\sin(nx),\quad \forall x\in (-\pi ,\pi )$

Konvergenza tas-serje ta' Fourier

Waqt li l-koeffiċjenti ta' Fourier $\,a_{n}\,$ u $\,b_{n}\,$ nistgħu niddefinuhom formalment għal kull-funzjoni li jagħmel sens li nikkonsidraw l-integrali li jagħtu l-valuri tagħhom, jekk is-serje definita hekk tikkonverġix għal $\,f(x)\,$ jiddipendi mill-proprijetajiet speċifiċi ta' dik il-funzjoni.

Ikollna konklużjoni l-iżjed sempliċi meta $\,f\,$ hi ta' kwadrat integrabbli; f'dak il-każ

$\lim _{N\rightarrow \infty }\int _{-\pi }^{\pi }\left|f(x)-\sum _{n=-N}^{N}F_{n}\,e^{{\rm {i}}nx}\right|^{2}\,{\rm {d}}x=0$

(jiġifieri għandna konvergenza fin-norma tal-ispazju L²).

Nafu ħafna kriteri oħra li jiggarantixxu li s-serje tikkonverġi f'punt mogħti x, pereżempju jekk il-funzjoni tkun differenzjabbli fx. Anki diskontinwità b'qabża ma tagħmilx problemi: jekk il-funzjoni jkollha derivati fuq ix-xellug u l-lemin fx, imbagħad is-serje ta' Fourier tikkonverġi għall-valur medju tal-limiti mix-xellug u mill-lemin. Dan igħidulu l-fenomenu Gibbs.

Minn naħa l-oħra hemm il-possibbiltà li ħafna jsibu stramba: is-serje ta' Fourier ta' funzjoni kontinwa tista' ma tikkonverġiex punt punt.

Xi konsegwenzi utli tal-proprijetajiet tal-omomorfiżmu tal-exp

Konsegwenza tal-fatt li l-"funzjonijiet bażi" $\,e^{{\rm {i}}kx}\,$ huma omomorfiżmi tal-linja reali, u iżjed eżatt, tal-grupp tal-ċirkonferenza, hemm xi identitajiet utli:

• Jekk

$g(x)=f(x-y)\,\!$

u niddenotaw b'G it-trasformata ta' g, imbagħad

$G_{k}\,=\,e^{-{\rm {i}}ky}F_{k}$ .

• Jekk $\,H_{k}\,$ hi it-trasformata ta' $\,h=f*g\,$, imbagħad

$H_{k}\,=\,F_{k}G_{k}$ ,

jiġifieri t-trasformata ta' Fourier ta' konvoluzzjoni hi l-prodott tat-trasformati ta' Fourier. Viceversa, jekk $\,h=fg\,$, imbagħad it-trasformata ta' Fourier H ta' h hi l-konvoluzzjoni tat-trasformati ta' Fourier ta' f u ta' g:

$H_{k}=\sum _{i=-\infty }^{\infty }F_{i}\,G_{k-i}$ .

Teorema ta' Parseval

Proprijetà importanti oħra tas-serje ta' Fourier hi t-teorema ta' Parseval, każ partikulari tat-teorema ta' Plancherel u forma ta' unitarjetà:

$\ ||F||^{2}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }|F_{n}|^{2}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }|f(x)|^{2}dx\,$ .

$||F||^{2}:=$ Norma bill-kwadrat tals-serje (li fil-fiżika jgħidulha l-enerġija tas-sinjal). In partikulari għall-funzjoni f b'valuri reali:

${\frac {a_{0}^{2}}{4}}+{\frac {1}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_{n}^{2}+b_{n}^{2}\right)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)^{2}dx$.

L-identità għandha sinjifikat importanti ħafna u hi valida esklużivament għan-norma bill-kwadrat: tagħti ugwaljanza bejn funzjoni perjodika u s-serje ta' Fourier korrispondenti.

Formulazzjoni ġenerali

Il-proprijetajiet tas-serje ta' Fourier l-iżjed utli għall-komputazzjonali huma l-biċċa l-kbira konsegwenzi tal-proprijetajiet tal-ortognalità u tal-omomorfiżmu tal-funzjonijiet $\,e^{{\rm {i}}nx}\,$. Ħafna suċċessjonijiet oħra ta' funzjonijiet ortognali għandhom proprijetajiet simili; imma f'dawn il-każi jintilfu l-identitajiet utli (pereżempju, dawk li għandhom x'jaqsmu mal-konvoluzzjoni) li jiġu mill-proprijetà tal-omomorfiżmu.

Eżempji ta' funzjonijiet ortognali utli jinkludu s-suċċessjonijiet ta' funzjonijiet ta' Bessel u l-polinomji ortognali. Dawn is-suċċessjonijiet sikwit jikkorrispondu ma' soluzzjonijiet ta' ekwazzjonijiet differenzjali; klassi wiesa' ta' suċċessjonijiet utili huma s-soluzzjonijiet tal-problemi ta' Sturm-Liouville. Huma jwasslu anki għas-soluzzjonijiet tal-ekwazzjoni ta' Schrödinger tal-mekkanika mewġija.

Paġni li għandhom x'jaqsmu

• Trasformata ta' Fourier
• Analisi armonika
• Fenomenu ta' Gibbs
• Teorija ta' Sturm-Liouville

Bibljografija

• William E. Byerly (1893): An elementary treatise on Fourier's series and spherical, cylindrical, and ellipsoidal harmonics with applications to problems in mathematical physics Ginn & Company.
• Horatio S. Carslaw (1921): Introduction to the theory of Fourier's series and integrals, Macmillan & co., ltd.
• E. W. Hobson (1926): The Theory Of Functions Of A Real Variable And The Theory Of Fourier's Series Vol. 2, Cambridge University Press.
• Antoni Zygmund (1935): Trigonometrical series, Subwencji Fundusz Kultury Narodowej
• Yitzhak Katznelson (1976): An introduction to harmonic analysis, Second corrected edition. Dover Publications, ISBN 0-486-63331-4

Ħoloq esterni

Portal Matematika

• Eżempji ta' problemi ta' Fourier fuq exampleproblems.com
• Java applet li turi l-żvilupp f'serje ta' Fourier ta' funzjoni liema tkun.