Algemene lineaire groep

In de wiskunde is de algemene lineaire groep van de orde $n$ over een unitaire ring $R$, aangeduid door $\mathrm {GL} (n,R)$ of $\mathrm {GL} _{n}(R)$, de groep van de inverteerbare n×n-matrices met elementen in $R$, met als groepsbewerking de matrixvermenigvuldiging. In veel gevallen zal $R$ een lichaam NL / veld B zijn. Doordat het product van twee inverteerbare matrices opnieuw inverteerbaar is en de inverse van een inverteerbare matrix ook weer kan worden geïnverteerd, is $\mathrm {GL} (n,R)$ inderdaad een groep. De algemene lineaire groepen $\mathrm {GL} (n,R)$ worden in de groepentheorie bestudeerd, waarbij hun groepsrepresentatie met behulp van matrices goed kan worden gebruikt.

Als de ring $R$ een eindig lichaam $\mathbb {F} _{q}$ is met $q$ een priemgetal of een macht van een priemgetal, schrijft men wel $\mathrm {GL} (n,q)$ in plaats van $\mathrm {GL} (n,R)$. Als uit de context blijkt dat de ring $R$ het lichaam/veld $\mathbb {R}$ van de reële getallen of $\mathbb {C}$ van de complexe getallen is, wordt ook alleen $\mathrm {GL} (n)$ of $\mathrm {GL} _{n}$ geschreven.

De groep $\mathrm {GL} (n,R)$ is voor alle $n\geq 2$ is niet commutatief. De groep $\mathrm {GL} (1,R)$ is commutatief als $R$ een commutatieve ring is.

De speciale lineaire groep, geschreven als $\mathrm {SL} (n,R)$ of $\mathrm {SL} _{n}(R)$, is de ondergroep van $\mathrm {GL} (n,R)$ van de matrices met determinant gelijk aan 1.

De groepen $\mathrm {GL} (n,R)$ en hun ondergroepen worden vaak lineaire groepen of matrixgroepen genoemd, onder de voorwaarde dat $\mathrm {GL} (R)$ een groep is. Wanneer dit het geval is, is $\mathrm {GL} (R)$ een lineaire groep, maar geen matrixgroep. De modulaire groep kan als een factorgroep van de speciale lineaire groep $\mathrm {SL} (2,\mathbb {Z} )$ worden geconstrueerd.

Bronnen

• (en) M Hazewinkel voor de Encyclopedia of Mathematics. General linear group. ISBN 978-1-55608-010-4
• (en) MathWorld. General Linear Group.