Euclidische groep

In de groepentheorie, een deelgebied van de wiskunde, is de euclidische groep $E(n)$, soms ook wel $\mathrm {ISO} (n)$ genoemd, de symmetriegroep van de $n$-dimensionale euclidische ruimte. De elementen van deze groep, de isometrieën geassocieerd met de euclidische metriek, dus met de definite voor afstand, worden euclidische isometrieën genoemd. Ze zijn van de vorm $f(x)=Ax+b$ met $A$ een orthogonale matrix, dat wil zeggen $A^{-1}=A^{T}$.

De groep is een ondergroep van de affiene groep $\mathrm {Aff} (n)$.

De euclidische groepen werden eerder dan groepen in het algemeen bestudeerd, dus tellen onder de oudste en meest bestudeerde groepen, althans voor het geval van de dimensies 2 en 3.

Poincaré-groepen zijn een vervolg op de euclidische groepen en worden in de relativiteitstheorie gebruikt.

Ondergroepen

Enkele belangrijke ondergroepen zijn:

• orthogonale groep $\mathrm {O} (n)$ van de vorm $f(x)=Ax$, de isometrieën waarbij de oorsprong op zijn plaats blijft
• speciale euclidische groep $\mathrm {SE} (n)$, de directe isometrieën. Dit zijn voor $n=3$ de mogelijke veranderingen van positie en stand van een star lichaam.
• speciale orthogonale groep $\mathrm {SO} (n)$, de directe isometrieën waarbij de oorsprong op zijn plaats blijft. Dit zijn voor $n=2$ de draaiingen om de oorsprong, voor $n=3$ de draaiingen om een as door de oorsprong.

Vrijheidsgraden

Het aantal vrijheidsgraden voor $E(n)$ is ${\tfrac {1}{2}}n(n+1)$.

Van het aantal vrijheidsgraden kunnen er $n$ aan de beschikbare translatiesymmetrie worden toegeschreven en de resterende $n(n-1)/2$ aan de rotatiesymmetrie.

De groep $E(2)$ heeft dus drie vrijheidsgraden en $E(3)$ heeft er 6.