Vermenigvuldiging kan gedefinieerd worden als herhaalde optelling:
a
×
b
=
a
+
a
+
⋯
+
a
⏟
b
k
o
p
i
e
e
¨
n
v
a
n
a
{\displaystyle a\times b=\underbrace {a+a+\dots +a} _{b\ \mathrm {kopie{\ddot {e}}n\ van} \ a}}
en machtsverheffing kan gedefinieerd worden als herhaalde vermenigvuldiging:
a
b
=
a
↑
b
=
a
×
a
×
⋯
×
a
⏟
b
k
o
p
i
e
e
¨
n
v
a
n
a
{\displaystyle a^{b}=a\uparrow b=\underbrace {a\times a\times \dots \times a} _{b\ \mathrm {kopie{\ddot {e}}n\ van} \ a}}
wat Knuth inspireerde tot de definitie van een 'dubbele pijl' operator voor herhaalde machtsverheffing of tetratie :
a
↑↑
b
=
a
a
.
.
.
a
⏟
b
k
o
p
i
e
e
¨
n
v
a
n
a
=
a
↑
a
↑
⋯
↑
a
⏟
b
k
o
p
i
e
e
¨
n
v
a
n
a
{\displaystyle a\uparrow \uparrow b=\underbrace {a_{}^{a^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{a}}}}}}} _{b\ \mathrm {kopie{\ddot {e}}n\ van} \ a}=\underbrace {a_{}\uparrow a\uparrow \dots \uparrow a} _{b\ \mathrm {kopie{\ddot {e}}n\ van} \ a}}
De bewerking moet hier en hieronder beschouwd worden van rechts naar links.
Volgens deze definitie geldt:
3
↑↑
2
=
3
3
=
27
{\displaystyle 3\uparrow \uparrow 2=3^{3}=27}
3
↑↑
3
=
3
3
3
=
3
27
=
7625597484987
{\displaystyle 3\uparrow \uparrow 3=3^{3^{3}}=3^{27}=7625597484987}
3
↑↑
4
=
3
3
3
3
=
3
7625597484987
{\displaystyle 3\uparrow \uparrow 4=3^{3^{3^{3}}}=3^{7625597484987}}
3
↑↑
5
=
3
3
3
3
3
{\displaystyle 3\uparrow \uparrow 5=3^{3^{3^{3^{3}}}}}
etc. Dit leidt al snel tot heel grote getallen, maar Knuth stopte hier niet. Hij ging verder om een 'drievoudige pijl' operator voor herhaalde toepassing van de 'dubbele pijl' operator te definiëren (ook bekend als pentatie ):
a
↑↑↑
b
=
a
↑↑
a
↑↑
⋯
↑↑
a
⏟
b
k
o
p
i
e
e
¨
n
v
a
n
a
{\displaystyle a\uparrow \uparrow \uparrow b=\underbrace {a\uparrow \uparrow a\uparrow \uparrow \dots \uparrow \uparrow a} _{b\ \mathrm {kopie{\ddot {e}}n\ van} \ a}}
gevolgd door een 'vierpijl' operator:
a
↑↑↑↑
b
=
a
↑↑↑
a
↑↑↑
⋯
↑↑↑
a
⏟
b
k
o
p
i
e
e
¨
n
v
a
n
a
{\displaystyle a\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow b=\underbrace {a\uparrow \uparrow \uparrow a\uparrow \uparrow \uparrow \dots \uparrow \uparrow \uparrow a} _{b\ \mathrm {kopie{\ddot {e}}n\ van} \ a}}
enzovoorts. De algemene regel is dat een n -pijl operator uit te schrijven is in een reeks (n − 1)-pijl operatoren. Symbolisch,
a
↑↑
…
↑
⏟
n
b
=
a
↑
…
↑
⏟
n
−
1
a
↑
…
↑
⏟
n
−
1
a
…
a
↑
…
↑
⏟
n
−
1
a
⏟
b
k
o
p
i
e
e
¨
n
v
a
n
a
{\displaystyle a\ \underbrace {\uparrow \uparrow \!\!\dots \!\!\uparrow } _{n}\ b=\underbrace {a\ \underbrace {\uparrow \!\!\dots \!\!\uparrow } _{n-1}\ a\ \underbrace {\uparrow \!\!\dots \!\!\uparrow } _{n-1}\ a\ \dots \ a\ \underbrace {\uparrow \!\!\dots \!\!\uparrow } _{n-1}\ a} _{b\ \mathrm {kopie{\ddot {e}}n\ van} \ a}}
Voorbeelden:
3
↑↑↑
2
=
3
↑↑
3
=
3
3
3
=
3
27
=
7.625.597.484.987
{\displaystyle 3\uparrow \uparrow \uparrow 2=3\uparrow \uparrow 3=3^{3^{3}}=3^{27}=7.625.597.484.987}
3
↑↑↑
3
=
3
↑↑
3
↑↑
3
=
3
↑↑
(
3
↑
3
↑
3
)
=
3
↑
3
↑
⋯
↑
3
⏟
3
↑
3
↑
3
k
o
p
i
e
e
¨
n
v
a
n
3
{\displaystyle 3\uparrow \uparrow \uparrow 3=3\uparrow \uparrow 3\uparrow \uparrow 3=3\uparrow \uparrow (3\uparrow 3\uparrow 3)=\underbrace {3_{}\uparrow 3\uparrow \dots \uparrow 3} _{3\uparrow 3\uparrow 3\ \mathrm {kopie{\ddot {e}}n\ van} \ 3}}
=
3
↑
3
↑
⋯
↑
3
⏟
7.625.597.484.987
k
o
p
i
e
e
¨
n
v
a
n
3
{\displaystyle =\underbrace {3_{}\uparrow 3\uparrow \dots \uparrow 3} _{\mathrm {7.625.597.484.987\ kopie{\ddot {e}}n\ van\ 3} }}
In uitdrukkingen zoals a b b als een superscript van het grondtal a te schrijven.
De superscriptnotatie a b a ↑b .
De pijlomhoognotatie is formeel gedefinieerd door:
a
↑
n
b
=
{
1
,
als
b
=
0
;
a
b
,
als
n
=
1
;
a
↑
n
−
1
(
a
↑
n
(
b
−
1
)
)
,
anders
{\displaystyle a\uparrow ^{n}b=\left\{{\begin{matrix}1,&{\mbox{als }}b=0;\\a^{b},&{\mbox{als }}n=1;\\a\uparrow ^{n-1}(a\uparrow ^{n}(b-1)),&{\mbox{anders}}\end{matrix}}\right.}
voor alle natuurlijke getallen a , b en n met b ≥ 0 en n ≥ 1.
Alle pijlomhoogoperatoren (inclusief normale machtsverheffing, a ↑b ) zijn rechts associatief , dat wil zeggen dat de waardebepaling plaatsvindt van rechts naar links in een uitdrukking die meer dan twee van zulke operatoren bevat. Bijvoorbeeld, a ↑b ↑c = a ↑(b ↑c ), niet (a ↑b )↑c ; bijvoorbeeld
3
↑↑
3
=
3
3
3
is
3
(
3
3
)
=
3
27
=
7.625.597.484.987
, niet
(
3
3
)
3
=
27
3
=
19.683
{\displaystyle 3\uparrow \uparrow 3=3^{3^{3}}{\mbox{ is }}3^{(3^{3})}=3^{27}=7.625.597.484.987{\mbox{, niet }}\left(3^{3}\right)^{3}=27^{3}=19.683}
3
↑↑↑
2
{\displaystyle 3\uparrow \uparrow \uparrow 2}
3
↑↑
(
3
↑↑↑
1
)
{\displaystyle 3\uparrow \uparrow (3\uparrow \uparrow \uparrow 1)}
3
↑↑
(
3
↑↑
(
3
↑↑↑
0
)
)
{\displaystyle 3\uparrow \uparrow (3\uparrow \uparrow (3\uparrow \uparrow \uparrow 0))}
3
↑↑
(
3
↑↑
1
)
{\displaystyle 3\uparrow \uparrow (3\uparrow \uparrow 1)}
3
↑↑
(
3
↑
(
3
↑↑
0
)
)
{\displaystyle 3\uparrow \uparrow (3\uparrow (3\uparrow \uparrow 0))}
3
↑↑
(
3
↑
1
)
{\displaystyle 3\uparrow \uparrow (3\uparrow 1)}
3
↑↑
(
3
1
)
{\displaystyle 3\uparrow \uparrow (3^{1})}
3
↑↑
3
{\displaystyle 3\uparrow \uparrow 3}
3
↑
(
3
↑↑
2
)
{\displaystyle 3\uparrow (3\uparrow \uparrow 2)}
3
↑
(
3
↑
(
3
↑↑
1
)
)
{\displaystyle 3\uparrow (3\uparrow (3\uparrow \uparrow 1))}
3
↑
(
3
↑
(
3
↑
(
3
↑↑
0
)
)
)
{\displaystyle 3\uparrow (3\uparrow (3\uparrow (3\uparrow \uparrow 0)))}
3
↑
(
3
↑
(
3
↑
1
)
)
{\displaystyle 3\uparrow (3\uparrow (3\uparrow 1))}
3
↑
(
3
↑
3
)
{\displaystyle 3\uparrow (3\uparrow 3)}
3
↑
(
3
3
)
{\displaystyle 3\uparrow (3^{3})}
3
↑
27
{\displaystyle 3\uparrow 27}
3
27
{\displaystyle 3^{27}}
7.625.597.484.987
{\displaystyle 7.625.597.484.987}
Waarden van
2
↑
m
n
{\displaystyle 2\uparrow ^{m}n}
hyper (2, m +2, n ) = 2 → n → m
m \n
1
2
3
4
5
6
7
formule
0
2
4
6
8
10
12
14
2
n
{\displaystyle 2n}
1
2
4
8
16
32
64
128
2
n
{\displaystyle 2^{n}}
2
2
4
16
65.536
2
65.536
{\displaystyle 2^{65.536}}
≈
2
,
0
×
10
19.728
{\displaystyle \approx 2,\!0\times 10^{19.728}}
2
2
65.536
{\displaystyle 2^{2^{65.536}}}
≈
10
6
,
0
×
10
19.728
{\displaystyle \approx 10^{6,0\times 10^{19.728}}}
2
2
2
65.536
{\displaystyle 2^{2^{2^{65.536}}}}
≈
10
10
6
,
0
×
10
19.728
{\displaystyle \approx 10^{10^{6,0\times 10^{19.728}}}}
2
↑↑
n
{\displaystyle 2\uparrow \uparrow n}
3
2
4
65.536
2
2
.
.
.
2
⏟
65.536
k
o
p
i
e
e
¨
n
v
a
n
2
{\displaystyle \underbrace {2^{2^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{2}}}}}}} _{65.536\ \mathrm {kopie{\ddot {e}}n\ van} \ 2}}
≈
(
10
↑
)
65.531
(
6
,
0
×
10
19.728
)
{\displaystyle \approx (10\uparrow )^{65.531}(6,\!0\times 10^{19.728})}
2
↑↑↑
n
{\displaystyle 2\uparrow \uparrow \uparrow n}
4
2
4
2
2
.
.
.
2
⏟
65.536
k
o
p
i
e
e
¨
n
v
a
n
2
{\displaystyle \underbrace {2^{2^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{2}}}}}}} _{65.536\ \mathrm {kopie{\ddot {e}}n\ van} \ 2}}
2
↑↑↑↑
n
{\displaystyle 2\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow n}
Opmerking:
(
10
↑
)
k
{\displaystyle (10\uparrow )^{k}}
functionele macht van de functie
f
(
n
)
=
10
n
{\displaystyle f(n)=10^{n}}
(
10
↑
)
1
(
n
)
=
10
n
{\displaystyle (10\uparrow )^{1}(n)=10^{n}}
(
10
↑
)
2
(
n
)
=
10
10
n
{\displaystyle (10\uparrow )^{2}(n)=10^{10^{n}}}
enzovoorts.
Waarden van
3
↑
m
n
{\displaystyle 3\uparrow ^{m}n}
hyper (3, m +2, n ) = 3 → n → m
m \n
1
2
3
4
5
formule
0
3
6
9
12
15
3
n
{\displaystyle 3n}
1
3
9
27
81
243
3
n
{\displaystyle 3^{n}}
2
3
27
7.625.597.484.987
3
7.625.597.484.987
{\displaystyle 3^{7.625.597.484.987}}
3
↑↑
n
{\displaystyle 3\uparrow \uparrow n}
3
3
7.625.597.484.987
3
3
.
.
.
3
⏟
7.625.597.484.987
k
o
p
i
e
e
¨
n
v
a
n
3
{\displaystyle \underbrace {3_{}^{3^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{3}}}}}}} _{7.625.597.484.987\ \mathrm {kopie{\ddot {e}}n\ van} \ 3}}
3
↑↑↑
n
{\displaystyle 3\uparrow \uparrow \uparrow n}
4
3
3
3
.
.
.
3
⏟
7.625.597.484.987
k
o
p
i
e
e
¨
n
v
a
n
3
{\displaystyle \underbrace {3_{}^{3^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{3}}}}}}} _{7.625.597.484.987\ \mathrm {kopie{\ddot {e}}n\ van} \ 3}}
3
↑↑↑↑
n
{\displaystyle 3\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow n}
Waarden van
10
↑
m
n
{\displaystyle 10\uparrow ^{m}n}
hyper (10, m +2, n ) = 10 → n → m
m \n
1
2
3
4
5
formule
0
10
20
30
40
50
10
n
{\displaystyle 10n}
1
10
100
1000
10.000
100.000
10
n
{\displaystyle 10^{n}}
2
10
10.000.000.000
10
10.000.000.000
{\displaystyle 10^{10.000.000.000}}
10
10
10.000.000.000
{\displaystyle 10^{\,\!10^{10.000.000.000}}}
10
↑↑
n
{\displaystyle 10\uparrow \uparrow n}
3
10
10
10
.
.
.
10
⏟
10
k
o
p
i
e
e
¨
n
v
a
n
10
{\displaystyle \underbrace {10_{}^{10^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{10}}}}}}} _{10\ \mathrm {kopie{\ddot {e}}n\ van} \ 10}}
10
↑↑↑
n
{\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow n}
4
10
10
↑↑↑↑
n
{\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow n}
bewerken
