Overleg:Gulden snede

Uitgehaald:

In de dagelijkse praktijk kom je de toepassing van de gulden snede vaak tegen. Het meest sprekende voorbeeld is het papierformaat wat je op printers en copieermachines gebruikt. Dit heet A4. Papier in het formaat A3 is net zo groot als twee A4-tjes met de langste zijden aan elkaar gelegd.

Dat is dus de vierkantswortel uit 2, en niet de gulden snede. Rob Hooft 11 jul 2003 17:38 (CEST)

Nee, dit is wel degelijk de gulden snede: De lange zijde is φ keer zo lang als de korte zijde. Alleen bij die verhouding levert het op die manier aan elkaar leggen opnieuw een rechthoek met dezelfde verhouding. Andre Engels 14 jul 2003 15:14 (CEST)

Ik denk dat Rob Hooft toch gelijk heeft, hoor. Ik heb hier een boek ("Handvaardigheid voor het hele gezin", waarin staat dat de verhouding breedte/lengte 1/(vierkantswortel twee) is. Voor de gulden snede zou dit ((vierkantswortel 5)-1)/2 moeten zijn. Deze breuken zijn niet aan elkaar gelijk. Het feit dat wanneer je twee A5'jes naast elkaar krijgt, je een papier krijgt dezelfde verhouding breedte/lengte, impliceert niet dat deze verhouding de gulden snede is. Laten we de breedte van een A5'je a noemen, en de lengte b. De verhouding van de breedte over de lengte is dan a/b. Een A4 heeft dan breedte b en een lengte 2a (niet a+b). De verhouding breedte/lengte voor een A4'tje is dus b/(2a). Als de verhoudingen gelijk zijn, hebben we dat a/b = b/(2a), of dat (a/b)² = 1/2. Dit geeft dat a/b gelijk is aan 1/(vierkantswortel twee), en dit is niet de gulden snede. Er zijn inderdaad websites die beweren dat de breedte/lengte-verhouding van A4-bladen de gulden snede is. Waarschijnlijk is de oorzaak hiervan dat de breedte/lengte-verhouding bijna de gulden snede is: de breedte/lengte-verhouding van een A4 is (op afronding na) 0.707 (reken maar uit: breedte: 210 mm, lengte 297 mm) , terwijl de gulden snede gelijk is aan (op afronding na) 0.618. Pieter Penninckx 14 jul 2003 16:42 (CEST)

Dank je, je hebt inderdaad gelijk. Om de een of andere reden dacht ik dat de vergelijking $1+x:1=1:x$ was, maar hij is inderdaad $x:2=1:x$. Tekst weer weggehaald. Andre Engels 14 jul 2003 16:55 (CEST)

Toch nog een paar hints: het A3 is 2x de oppervlak van een A4, maar met dezelfde vorm. Dus de lengte zowel als de breedte zijn vermenigvuldigd met wortel 2. Verder schreef ik een klein stukje verder in het artikel dat een rechthoek met de gulden snede gelijk is aan een vierkant plus een rechthoek met de gulden snede; dat is dus niet 2 rechthoeken.... Rob Hooft 14 jul 2003 19:50 (CEST)

Grappig, ik heb dus gisteren inderdaad ook met een rekenmachientje zitten klooien omdat ik dat verhaal van die papierformaten en de gulden snede ook al jaren als vast feit in mijn hoofd had zitten. Evanherk 14 jul 2003 17:08 (CEST)

Als ezelsbruggetje kun je ook de reeks van Fibonacci even toepassen. 1+1=2 1+2=3 2+3=5 3+5=8 2:3:5:8:13:21 enz. als je daar een tijdje mee doorgaat kun je daaruit de verhouding 1 : 1,62 : 2,62 halen (dit is natuurlijk slechts een benadering van de gulden snede) De A-formaten in papier zijn inderdaad op een heel andere verhouding gebaseerd, geen "harmonieuze" maar een industrieel practische (ik meen uit Duitsland) Het vakje op proefwerkpapier op middelbare scholen waar je cijfer op kwam te staan was wel gulden snede weet ik nog.

Gr. [Roel]

ik vind dit een leuk en helder stuk, maar alleen de externe link nergens op slaan. Aleichem 9 jul 2005 15:39 (CEST)

euclides

en als beta snap ik van de eucides vergelijking niks. wortel 5+1 ? waar komt die 5 en die 1 vandaan? en waarom is b = 2? Aleichem 19 sep 2005 18:59 (CEST)

de verhouding a/b is gelijk aan (1+sqrt(5))/2; dat zegt niet (uiteraard!) dat a=1+sqrt(5) en b=2 . Er wordt gebruik gemaakt van de abc-formule MADe 19 sep 2005 19:13 (CEST)

abc formule? Arie Stoteles? a2 + b2 = c2?

ten eerste: de $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ formule is die van Piet Agoras, en heeft hier (buiten idd de letters) niets mee te maken; de wortelformule is van de vorm $x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$.

Om terug on-topic te raken: iedereen die de afleiding wenst te weten, kan zelf de coëfficiënten invullen en tot het getal φ komen MADe 19 sep 2005 19:25 (CEST)

maar de afleiding kan daar wel wat helderder staan. ik begrijp nog steeds niet waar die getalletjes opeens uit de hemel komen vallen. Aleichem 19 sep 2005 19:29 (CEST)

Nou, ik vind het juist wel mooi beknopt zo. De oplettende lezer kan zelf wel de breuken omdraaien, overal vermenigvuldigen met a/b, en vervolgens de abc formule toepassen. Daar zitten geen speciale trucs achter. Bob.v.R 20 sep 2005 02:12 (CEST)

vind je het didacties verantwoord zo? Aleichem 20 sep 2005 16:58 (CEST)

In het artikel wordt naar vierkantsvergelijking verwezen en daar wordt uitgelegd hoe je die oplost. Dat hoeft hier dus niet herhaald te worden. Alex1 11 okt 2005 22:26 (CEST)

zonnebloem

Iemand heeft de zonnebloem toegevoegd omdat de verdeling van de pitten iets te maken zou hebben met de gulden snede. Mag hier a.u.b. een toelichting bij? Ik kan het nog niet volgen zo. Groeten, Bob.v.R 10 okt 2005 23:49 (CEST)

De aantallen spiralen linksom en rechtsom zijn twee opeenvolgende getallen uit de rij van Fibonacci. Met gulden snede zonnebloem of golden ratio sunflower in een zoekmachine vind je al gauw de gezochte uitleg, b.v. http://www.botaniewebsite.nl/maatvandenatuur.html Alex1 11 okt 2005 22:19 (CEST)

In de huidige versie van het artikel wordt geen enkele toelichting gegeven van het verband tussen de verdeling van de pitten en de gulden snede. Ook de foto verschaft geen enkele helderheid. M.i. is dat geen kwaliteit. Terzijde: ook de door Alex1 gegeven link is ten eerste niet 100% duidelijk op dit punt, en ten tweede pretendeert men daar niet primair een verband te zien met de gulden snede, maar (inderdaad) met de rij van Fibonacci; ook dit gesuggereerde verband wordt aldaar (op die website) niet uitgewerkt. Hoe dan ook: op deze manier ben ik van mening dat het wikipedia-artikel niet in orde is. Bob.v.R 12 okt 2005 00:47 (CEST)

het geen waarom deze persoon met de verdeling van de pitten en de gulden snede komt is omdat ze dezen gelezen heeft in de da vinci code. Ik weet dat de teksten die daar in staan inderdaad grondig zijn uitgezocht en dus zou je dat voor waarheid aan kunnen nemen. Alleen is het een beetje triest dat ze dat van eeen boek moeten hebben, zonder er de juiste uitleg bij te kunnen geven.

nog een constructie

er bestaat bij mijn weten nog een constructie voor de gulden snede, waarvan een afbeelding de moeite waard zou zijn (maar ik ben nu eenmaal geen wizard met tekenprogramma's:

• men tekene een driehoek ABC met een rechte hoek erin (bij punt B), de basis zij BC, de zijden aan de rechte hoek hebben lengteverhouding 1:2 (de opstaande zijde AB heeft dus lengte 1)
• vanuit het hoekpunt dat de zijde AB maakt met de hypothenusa (punt A) cirkelt men om naar de hypothenusa en vindt punt D
• vanuit het hoekpunt dat de zijde BC maakt met de hypothenusa (punt C) cirkelt men nu vanaf punt D om naar de basis (BC) en vindt punt E
• nu is BE:EC=EC:BC met andere woorden: de zijde BC is volgens de gulden snede verdeeld.

kan iemand hier misschien een plaatje van maken? dank oscar 31 mrt 2006 08:58 (CEST)

dit is inderdaad de constructie die ik bedoelde (nu zou het nog een plekje in het artikel moeten krijgen denk ik). dank en groetjes, oscar 18 apr 2006 14:32 (CEST)

 Uitgevoerd--oscar 24 feb 2007 02:40 (CET)

Ik heb hieraan een afleiding toegevoegd.

Daarna bedacht ik dat de definitie van Euclides bovenaan zou moeten staan. Ten tweede bedacht ik dat de andere constructie slechts 1 keer cirkelen met een passer vergt, en dus ook niet zo 'slecht' is. Toen heb ik de volgorde van een en ander aangepast. Bob.v.R 24 feb 2007 07:08 (CET)

klopt, maar "men neme een vierkant" lukt niet zomaar met een passer een liniaal ;-) daar moet je ook voor cirkelen. "men neme tevens een tekendriehoek" maakt een constructie altijd minder precies, maar ach, wie gebruikt die constructies nog in het digitale tijdperk he ;-) het ziet er goed uit zo imho. groetjes, oscar 24 feb 2007 10:44 (CET)

Ja, daar heb je natuurlijk gelijk in. En ook voor de rechthoekige driehoek (met gelukkig de ene rh-zijde twee keer zo lang als de andere rh-zijde) moet er bij het letterlijke 'gebruik van passer en liniaal' worden gecirkeld. Maar misschien dat dan de driehoek toch 'eenvoudiger' is inderdaad. Bob.v.R 24 feb 2007 12:31 (CET)

gulden rechthoek

Op het artikel Gulden rechthoek staat niet veel meer dan hier in de eerste alinea. Het lijkt me beter om dat artikel hierin te passen. Paul B 22 dec 2006 19:06 (CET)

Lijkt mij ook. Van mij mag je. CaAl 22 dec 2006 20:27 (CET)

vitruviusman en gulden snede

Volgens mij is er geen direct verband tussen de vitruviusman en de gulden snede, en klopt de genoemde vijfhoek ook al niet, zie vitruviusman. paul b [overleg] 12 jan 2007 10:56 (CET)

Hoi Paul, pas a u.b. aan waar het fout gaat; ook als de afbeelding onjuist is geplaatst: corrigeer waar nodig. Alvast dank voor je bijdragen. Siebrand (overleg) 12 jan 2007 10:57 (CET)

Zodra ik een mooie afbeelding heb kunnen vinden die wel met de gulden snede te maken heeft, zal ik die plaatsen en de tekst aanpassen. Kan een paar dagen duren, ik heb nu verder niet zoveel tijd. Groet, paul b [overleg] 12 jan 2007 14:34 (CET)

Gulden Snede in de Natuur

Beste,

Ik heb een uitgebreid onderzoek gedaan naar de gulden snede en diens toepassingen in de natuur (plantenkunde, dierenkunde,...) . Nu zie ik dat dit gedeelte niet wordt vermeld. Ook de zonnebloem is een heel belangrijk aspect dat zeker en vast dient vermeld te worden.

Misschien kunnen we dit eens bekijken?

_______________________

Beste,

Ik doe een onderzoek voor school over de gulden snede en wikipedia is de enige bron die beweert dat de gulden snede niks te maken heeft met de schelp van de Nautilus. Volgens alle andere bronnen is dit wel zo. De inhoud van de delen van de schelp van de nautilus verhouden zich wel volgens de gulden snede. De spiraal zelf darentegen is een logaritmische spiraal en heeft niks te maken met de gulden snede. (zoals reeds in het artikel vermeld) Het zou misschien handig zijn dit te vermelden?

"De relatieve volumes van de opeenvolgende kamers verhouden zich volgens de Gulden Verhouding. De schelp heeft de vorm van een logaritmische spiraal." Bron: http://www. spiritualia.be/blogs/angelus/2010/9/over-fractals-en-vormkrachten-die-de-uiterlijke-vorm-van-organismen-bepalen.html

Wikipedia is geen bron. De website die je linkte is ook geen bron, er staat gewoon een bewering. Een goede bron zou een verslag zijn met metingen en berekeningen. --BDijkstra (overleg) 9 apr 2012 16:57 (CEST)

Dat kan goed zijn maar is het nu wel zeker dat wat in het artikel op wikipedia juist is?– De voorgaande bijdrage werd geplaatst door 213.118.146.111 (overleg · bijdragen)

Dat is absoluut niet zeker, maar Wikipedia beschrijft beweringen en geen juistheden. Echter moet ik toegeven dat een bewering met bron beter is dan een zonder, ook al is er geen enkele onderbouwing. --BDijkstra (overleg) 11 apr 2012 21:10 (CEST)

Dus op wikipedia mag vanalles geplaatst worden zonder onderbouwing? Waar is het verslag met metingen en berekeningen zoals volgens u vereist is? Ik wou jullie er gewoon attent op maken dat wat ik hier lees niet overeenkomt met wat andere sites en boeken me vertellen. Bovenstaande niet-ondertekende opmerking is hier geplaatst op 12 apr 2012 om 16:15 door 213.118.146.111

Iedereen kan op Wikipedia bewerkingen maken, maar het is wel de bedoeling om verifieerbare onderbouwing te geven. Ik heb geen idee waar het verslag is, en ik heb niet gezegd dat dit vereist is. Ik ben benieuwd naar uw bronnen. --BDijkstra (overleg) 12 apr 2012 20:42 (CEST)

http://www.sip.be/dpb/wis/DVW%202007/Dag_vd_Wiskunde_2007%282_3%29/In%20de%20ban%20van%20wiskunde%20en%20cultuur.pdf Op het einde van pagina 12 en het eerste deel van pagina 13 staat wat ik bedoel. - De voorgaande opmerking werd toegevoegd door 213.118.146.111 (overleg|bijdragen) 22 apr 2012 18:51‎ (CEST)

Vitruviusman

Hey,

De Vitruviusman is zeker en vast niet gebaseerd op een pentagram met verhouding 1:1.618. Integendeel zelfs. Een cirkel (middelpunt = navel) en een vierkant (middelpunt = schaamstreek) domineren de figuur heel duidelijk. De 'perfecte' man die je ziet op de afbeelding van Leonardo da Vinci is een man waarin de gulden snede op subtiele wijze (door tal van lichaamslengten die ik duidelijk kan aantonen) verweven. Deze perfecte man zit dus vol van gulden verhoudingen. Een bewijs dat de gulden snede in de mens ook aanwezig aangezien Leonardo zich baseerde op emperisch onderzoek.

Groeten,

Volgens mij is er geen enkele bron waar uit blijkt dat Leonardo da Vinci deze tekening maakte met de bedoeling de gulden snede toe te passen. De figuur dient enkel om aan te duiden dat een man in een vierkant geplaatst kan worden (hoogte is gelijk aan breedte), vandaar de naam Homo ad quadratum.

Ongelijke delen

Ik vind het niet lezersvriendelijk om de gulden snede als een verdeling in ongelijke delen te presenteren. Weliswaar komt de juiste verhouding erachteraan, maar dat leest niet prettig.Madyno 21 mei 2007 15:38 (CEST)

De gedachte achter die formulering is dat twee kortere zinnen voor veel lezers begrijpelijker zijn dan 1 lange. Het "ongelijke delen" in de eerste zin zorgt ervoor dat de lezer in de tweede zin niet voor verrassingen komt te staan als er sprake blijkt te zijn van een "grootste" en een "kleinste" deel. Door het stap voor stap uit te leggen is het voor meer lezers begrijpelijk. Bart van der Pligt 21 mei 2007 15:57 (CEST)

Inderdaad, de lezer voor wie dit iets geheel nieuws is, moet het niet onnodig lastig worden gemaakt. Twee iets kortere zinnen zijn dan lezersvriendelijker dan 1 heel lange zin. Bob.v.R 21 mei 2007 16:03 (CEST)

(na bwc) Aan de andere kant is de losse zin ".... is een manier om een lijnstuk in twee ongelijke delen te verdelen." erg verwarrend. Is het een methode om een lijnstuk in twee willekeurige ongelijke delen te verdelen? Pas in de tweede alinea wordt duidelijk dat dat niet zo is. In de wat langere zin staat er op de juiste plek een "zodanig dat" om het nader te specificeren. Beide oplossingen zijn naar mijn idee niet optimaal; ik vind de een verwarrend, en de ander vereist te veel tijdelijke opslag in mijn beperkte brein, zodat ik hem twee keer moet lezen. Offtopic: naar mijn idee is de gulden snede geen methode (wat het woord "manier" wel lijkt te suggereren): er wordt niet gespecificeerd hoe het verdelen dient te gebeuren. Het bij mijn weten de verhouding tussen de twee lijnstukken, dus datgene wat in het artikel het gulden getal wordt genoemd. Paul B 21 mei 2007 16:17 (CEST)

Ik heb voor 'manier' het woord 'specifieke' toegevoegd. Bob.v.R 22 mei 2007 11:45 (CEST)

Dat helpt niet. Het is niet een specifieke manier om een lijnstuk in twee ongelijkedelen te verdelen, maar een manier om een lijnstuk in twee specifieke ongelijke delen te verdelen. Maar zo zou ik het in het artikel niet willen formuleren.Madyno 22 mei 2007 12:31 (CEST)

Spelling

Iemand heeft in de inleiding het woord 'guldensnedeverhouding' gebruikt. Is dit wel correct? Ik zou eerder 'guldensnede-verhouding' verwachten bij de huidige spellingsregels. Bob.v.R 22 mei 2007 11:39 (CEST)

Allereerst heeft het woord slechts 8 googlehits, en in de vorm "guldensnede-verhouding" slechts 19. Als we er (o, gruwel) "Gulden snede verhouding" van maken, hebben we er nog steeds maar 198. Ik denk dat dit gewoon geen gangbare term is, en daarom zou ik hem het liefste helemaal niet gebruiken. Een streepje is volgens de huidige regels niet noodzakelijk omdat er geen verwarring kan ontstaan (tenzij er natuurlijk iemand denkt dat het om de houding van de Gulden Snedever gaat ;-) Paul B 22 mei 2007 13:58 (CEST)

in de natuur...

In de natuur komt de gulden snede vaak terug, de verhouding tussen de lengte van de boven en onderarm met de hele arm is een gulden verdeling.

Ik heb dit verwijderd omdat het overduidelijk onjuist is. De verhouding tussen onder- en bovenarm is namelijk niet bij ieder individu hetzelfde. Of de gulden snede "vaak" zou voorkomen in de natuur is nooit aangetoond. Als iemand toch dergelijke claims in het artikel wil opnemen dan graag met bronvermelding. Bart van der Pligt 28 jul 2007 15:31 (CEST)

Bart heeft gelijk hoor. De gulden snede duikt vrij vaak op in wiskundige modellering van natuurlijke verschijnselen, maar dat komt gewoon door de Wet van de Kleine Getallen: veel toepassing draaien uit op een vierkantsvergelijking waarvan de coefficienten kleine gehele getallen zijn, en zo nu en dan levert dat de gulden snede op.

Makkelijkere formule

Is het niet handiger om de formule

$\varphi ={\sqrt {1{\frac {1}{4}}}}+{\frac {1}{2}}$

oftewel

$\varphi ={\sqrt {1.25}}+0.5$

te gebruiken voor het uitrekenen van de gulden snede? IvoW 27 jan 2008 11:31 (CET)

Maar dat is toch hartstikke lelijk? ;-) In ieder geval proberen we meestal zoveel mogelijk "onder de wortel vandaan" te halen, en breuken "enkelvoudig" te schrijven, en dan is ${\frac {1}{2}}{\sqrt {5}}$ dus "beter" dan ${\sqrt {1{\frac {1}{4}}}}$. En dan kunnen we dus ook nog het hele ding als een breuk schrijven, wat dan tot de uitdrukking uit het artikel leidt. Maar dat is uiteraard uiteindelijk slechts een conventie. Paul B 27 jan 2008 22:52 (CET)

zinvolle illustratie?

Leonardo Da Vinci's studie naar geometrische verhoudingen in Divina Proportione

Nevenstaande illustratie staat nu in het artikel. Ik heb er mijn twijfels bij. Is het echt een tekening van Leonardo da Vinci? (Volgens mij heeft hij aan de Divina Proportione alleen de tekeningen van geometrische veelvlakken bijgedragen). Wat leert het plaatje ons over de gulden snede? Komt er eigenlijk wel een gulden snede in voor? Vinicius Bongaertz 20 mei 2009 17:01 (CEST)

Inderdaad, zonder een toelichting die het verband met de gulden snede duidelijk maakt, is het artikel beter af zonder deze afbeelding. Bob.v.R 21 mei 2009 19:10 (CEST)

Ik heb de plaatser van het plaatje om opheldering gevraagd maar nog niets teruggehoord. In afwachting heb ik het plaatje weggehaald. De alinea over 'mythes' heb ik opgeheven. Veel van die informatie stond elders ook al. De informatie over de nautilus en wat meer nadruk op 20e eeuwse beeldende kunst die die alinea bood heb ik in de paragrafen over esthetica en levende natuur verwerkt.

Dit heb ik verwijderd omdat het onduidelijk is:

Niet allemaal onwaarheden, want bij een bouwsel resulteert de gulden snede automatisch bij het construeren van een rechthoekige driehoek met dimensies a, b en c, waarbij moet gelden ${\tfrac {c}{b}}={\tfrac {b}{a}}$.

Vinicius Bongaertz 23 mei 2009 17:59 (CEST)

Vinicius Bongaertz 23 mei 2009 17:59 (CEST)

een toepassing

Ik heb het voornemen om een toepassing van het gulden getal toe te voegen. Deze getalsnotatie is wel beschreven maar de consequentie met "vermenigvuldigen" nog niet. Ik kan dat nergens vinden en dat intrigeert me, het lijkt zo simpel. Het is het volgende :

Compensatie notatie:

Met de machten van het getal φ kunnen m.b.v een compensatie notatie weer gehele getallen gemaakt worden. Zo zijn bijvoorbeeld :

  1 =  φ – φ-1, 
  2 =  φ1 + φ-2  
  3 =  φ2 + φ-2

Deze getallen kunnen ook geschreven worden als:

  1 = 1.0.-1  
  2 = 1.0.01  
  3 = 10.0.01 

hierbij is de 1 of 0 een index is voor de aanwezigheid van de macht van φ. De index op positie 0 wordt aangegeven met .0. om aan te geven dat φ⁰ ook meetelt en positie 0 zit tussen de positieve en negatieve machten in. Deze notatie heeft verwantschap met de notatie van het Binaire_talstelsel alleen is in het binaire stelsel de basis een macht van 2 in plaats van φ.

Door een stukje van de reeks van de rij van Lucas of een andere variant op derij van Fibonacci te nemen en de compensatie notatie op precies de zelfde wijze als index te gebruiken, houden we een (kortere) reeks getallen over. De som van die getallen levert het product van de het getal in "compensatie notatie" en het centrum van de reeks.

Voorbeeld:

2 X 5 = 1.0.01 index [ ..1,1,2,3,5,8,13..] → 8 + 2 = 10

3 X 5 = 10.0.01 index [ ..1,1,2,3,5,8,13..] → 13 + 2 = 15

of een complexer voorbeeld: 19 X 65:

100000.1.000001 index [.. 5, 5, 10, 15, 25, 40, 65, 105, 170, 275, 445 , 720, 1165 ..] → 5 + 65 + 1165 = 1235
Bovenstaande niet middels vier tildes ondertekende bijdrage is hier op 19 en 22 juni 2014 geplaatst door respectievelijk Swiersma en 2001:981:b22b:1:ecbd:ef3d:c05e:4865.

Ik denk dat dit in een apart lemma moet komen. Het gaat volgens mij om een getalsysteem op basis van de gulden snede. Madyno (overleg) 22 jun 2014 18:02 (CEST)

Uitgevoerd, zie Talstelsel met basis gulden snede. Wat echter hierboven verder beweerd wordt, wat bv. compensatienotatie is, begrijp ik niet. Madyno (overleg) 23 jun 2014 21:49 (CEST)

Externe links aangepast

Hallo medebewerkers,

Ik heb zojuist 1 externe link(s) gewijzigd op Gulden snede. Neem even een moment om mijn bewerking te beoordelen. Als u nog vragen heeft of u de bot bepaalde links of pagina's wilt laten negeren, raadpleeg dan deze eenvoudige FaQ voor meer informatie. Ik heb de volgende wijzigingen aangebracht:

• Archief https://web.archive.org/web/20090227045527/http://www.nvvw.nl/page.php?id=7453 toegevoegd aan http://www.nvvw.nl/page.php?id=7453

Zie de FAQ voor problemen met de bot of met het oplossen van URLs.

Groet.—InternetArchiveBot (Fouten melden) 16 apr 2019 11:54 (CEST)

Fibonacci

Engelse en Duitse W. :

$\varphi ^{n}=f_{n}\varphi +f_{n-1}$

In het artikel staat nu:

$\varphi ^{n}=f_{n}{\sqrt {5}}+f_{n-1}$

Juist is:

$f_{n}={\frac {\varphi ^{n}-(1-\varphi )^{n}}{\sqrt {5}}}={\frac {\varphi ^{n}-(1-\varphi )^{n}}{\varphi -(1-\varphi )}}$

$(\varphi -(1-\varphi ))(f_{n-1}+f_{n}\varphi )=\varphi ^{n-1}-(1-\varphi )^{n-1}+\varphi ^{n+1}-(1-\varphi )^{n}\varphi =$

$=-(1-\varphi )\varphi ^{n}+\varphi (1-\varphi )^{n}+\varphi ^{n+1}-\varphi (1-\varphi )^{n}=$

$=(\varphi -(1-\varphi ))\varphi ^{n}$

dus Engelse en Duitse zijn correctMadyno (overleg) 31 aug 2022 00:32 (CEST)

Ik kom uit op $f_{n-1}=(1-\varphi )^{n}$. –bdijkstra (overleg) 30 aug 2022 12:16 (CEST)

Je hebt gelijk, ik pas het aan.Madyno (overleg) 30 aug 2022 12:25 (CEST)

En natuurlijk is $\varphi \neq {\sqrt {5}}$, dus een van die eerste twee formules is fout. –bdijkstra (overleg) 30 aug 2022 12:30 (CEST)