Einingsvektor

Ein einingsvektor i eit normert vektorrom er ein vektor (ofte ein romleg vektor) som har ei lengd lik 1 (einingslengda). Ein einingsvektor er ofte skrive med små bokstavar og ein cirkumfleks eller «hatt», som dette: ${\hat {\imath }}$ (uttalt «i-hatt»).

I eit euklidsk rom er prikkproduktet til to einingsvektorar rett og slett cosinus til vinkelen mellom dei. Dette følgjer frå formelen for prikkproduktet, sidan lengdene til begge er lik 1.

Den normaliserte vektoren eller versoren ${\boldsymbol {\hat {u}}}$ til ein vektor som er ulik null ${\boldsymbol {u}}$ er einingsvektoren som går i same retning som ${\boldsymbol {u}}$, t.d.,

${\boldsymbol {\hat {u}}}={\frac {\boldsymbol {u}}{\|{\boldsymbol {u}}\|}}.$

der $\|{\boldsymbol {u}}\|$ er norma (eller lengda) til ${\boldsymbol {u}}$. Uttrykket normalisert vektor vert stundom nytta synonymt med einingsvektoren.

Alle vektorar i rommet kan skrivast som ein lineær kombinasjon av einingsvektorar. Dei vanlegaste basane ein kartesiske, polare eller sfæriske koordinatar. Kvar nyttar forskjellige einingsvektorar etter symmetrien til kvart koordinatsystem.

Kartesiske koordinatar

I det tredimensjonale kartesiske koordinatsystemet går einingsvektorane i same retning som x-, y- og z-aksane, ofte kalla versorane til koordinatsystemet.

$\mathbf {\hat {\boldsymbol {\imath }}} ={\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}},\,\,\mathbf {\hat {\boldsymbol {\jmath }}} ={\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}},\,\,\mathbf {\hat {\boldsymbol {k}}} ={\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}}$

Desse vert ofte skrive ved å nytte normal vektornotasjon (t.d. i, eller ${\vec {\imath }}$) i staden for med cirkumfleks, og i dei aller fleste tilfelle kan ein rekne med at i, j og k, (eller ${\vec {\imath }},{\vec {\jmath }},$ og ${\vec {k}}$) er vektorar i eit kartesisk koordinatsystem. Notasjonane $({\boldsymbol {\hat {x}}},{\boldsymbol {\hat {y}}},{\boldsymbol {\hat {z}}})$, $({\boldsymbol {\hat {x}}}_{1},{\boldsymbol {\hat {x}}}_{2},{\boldsymbol {\hat {x}}}_{3})$, $({\boldsymbol {\hat {e}}}_{x},{\boldsymbol {\hat {e}}}_{y},{\boldsymbol {\hat {e}}}_{z})$ eller $({\boldsymbol {\hat {e}}}_{1},{\boldsymbol {\hat {e}}}_{2},{\boldsymbol {\hat {e}}}_{3})$, med eller utan hatt, vert òg nytta, særleg i samanhengar der i, j, k kan forvekslast med andre storleikar (til dømes indekssymbol som i, j, k, som vert nytta til å identifisere element i eit sett eller ei følgje.

Sylindriske koordinatar

Einingsvektorane i sylindriske koordinatar er ${\boldsymbol {\hat {s}}}$ (òg skrive ${\boldsymbol {\hat {r}}}$ eller ${\boldsymbol {\hat {\rho }}}$), avstanden frå symmetriaksen; ${\boldsymbol {\hat {\phi }}}$, vinkelen mål mot klokka frå den positive x-aksen; og ${\boldsymbol {\hat {z}}}$. Dei er knytte til dei kartesiske basane ${\hat {x}},{\hat {y}},{\hat {z}}$ ved:

${\boldsymbol {\hat {s}}}$ = $\cos \phi {\boldsymbol {\hat {x}}}+\sin \phi {\boldsymbol {\hat {y}}}$

${\boldsymbol {\hat {\phi }}}$ = $-\sin \phi {\boldsymbol {\hat {x}}}+\cos \phi {\boldsymbol {\hat {y}}}$

${\boldsymbol {\hat {z}}}={\boldsymbol {\hat {z}}}.$

Det er viktig å merke seg at ${\boldsymbol {\hat {s}}}$ og ${\boldsymbol {\hat {\phi }}}$ er funksjonar av $\phi$, og ikkje konstante i retning. Når ein deriverer eller integrerer i sylindriske koordinatar, må ein òg handsama sjølve einingsvektorane. Dei deriverte med omsyn til $\phi$ er:

${\frac {\partial {\boldsymbol {\hat {s}}}}{\partial \phi }}=-\sin \phi {\boldsymbol {\hat {x}}}+\cos \phi {\boldsymbol {\hat {y}}}={\boldsymbol {\hat {\phi }}}$

${\frac {\partial {\boldsymbol {\hat {\phi }}}}{\partial \phi }}=-\cos \phi {\boldsymbol {\hat {x}}}-\sin \phi {\boldsymbol {\hat {y}}}=-{\boldsymbol {\hat {s}}}$

${\frac {\partial {\boldsymbol {\hat {z}}}}{\partial \phi }}=\mathbf {0} .$

Sfæriske koordinatar

Einingsvektorane i sfæriske koordinatsystem er ${\boldsymbol {\hat {r}}}$, avstanden frå origo; ${\boldsymbol {\hat {\phi }}}$, vinkelen i x-y-planet mot klokka frå den positive x-aksen, og ${\boldsymbol {\hat {\theta }}}$, vinkelen frå den positive z-aksen. For å minimere degenerasjon er polarvinkelen ofte rekna som $0\leq \theta \leq 180^{\circ }$. Forholdet til det kartesiske koordinatsystemet er:

${\boldsymbol {\hat {r}}}=\sin \theta \cos \phi {\boldsymbol {\hat {x}}}+\sin \theta \sin \phi {\boldsymbol {\hat {y}}}+\cos \theta {\boldsymbol {\hat {z}}}$

${\boldsymbol {\hat {\theta }}}=\cos \theta \cos \phi {\boldsymbol {\hat {x}}}+\cos \theta \sin \phi {\boldsymbol {\hat {y}}}-\sin \theta {\boldsymbol {\hat {z}}}$

${\boldsymbol {\hat {\phi }}}=-\sin \phi {\boldsymbol {\hat {x}}}+\cos \phi {\boldsymbol {\hat {y}}}$

Dei sfæriske einingsvektorane er avhengig av både $\phi$ og $\theta$, og derfor finst det fem mogelege derivative ulik null. Desse er:

${\frac {\partial {\boldsymbol {\hat {r}}}}{\partial \phi }}=-\sin \theta \sin \phi {\boldsymbol {\hat {x}}}+\sin \theta \cos \phi {\boldsymbol {\hat {y}}}=\sin \theta {\boldsymbol {\hat {\phi }}}$

${\frac {\partial {\boldsymbol {\hat {r}}}}{\partial \theta }}=\cos \theta \cos \phi {\boldsymbol {\hat {x}}}+\cos \theta \sin \phi {\boldsymbol {\hat {y}}}-\sin \theta {\boldsymbol {\hat {z}}}={\boldsymbol {\hat {\theta }}}$

${\frac {\partial {\boldsymbol {\hat {\theta }}}}{\partial \phi }}=-\cos \theta \sin \phi {\boldsymbol {\hat {x}}}+\cos \theta \cos \phi {\boldsymbol {\hat {y}}}=\cos \theta {\boldsymbol {\hat {\phi }}}$

${\frac {\partial {\boldsymbol {\hat {\theta }}}}{\partial \theta }}=-\sin \theta \cos \phi {\boldsymbol {\hat {x}}}-\sin \theta \sin \phi {\boldsymbol {\hat {y}}}-\cos \theta {\boldsymbol {\hat {z}}}=-{\boldsymbol {\hat {r}}}$

${\frac {\partial {\boldsymbol {\hat {\phi }}}}{\partial \phi }}=-\cos \phi {\boldsymbol {\hat {x}}}-\sin \phi {\boldsymbol {\hat {y}}}=-\cos \theta {\boldsymbol {\hat {\theta }}}-\sin \theta {\boldsymbol {\hat {r}}}$

Kjelder

• Denne artikkelen bygger på «Unit vector» frå Wikipedia på engelsk, den 21. juli 2009.
  • Wikipedia på engelsk oppgav desse kjeldene:
  • G. B. Arfken & H. J. Weber (2000). Mathematical Methods for Physicists (5th ed. utg.). Academic Press. ISBN 0-12-059825-6.  CS1 maint: Extra text (link)
  • Spiegel, Murray R. (1998). Schaum's Outlines: Mathematical Handbook of Formulas and Tables (2nd ed. utg.). McGraw-Hill. ISBN 0-07-038203-4.  CS1 maint: Extra text (link)
  • Griffiths, David J. (1998). Introduction to Electrodynamics (3rd ed. utg.). Prentice Hall. ISBN 0-13-805326-X.  CS1 maint: Extra text (link)