Terminalfart

Terminalfart til ein lekam som fell mot bakken er farten lekamen har når tyngdekrafta som trekk lekamen mot bakken er like stor som luftmotstanden (den atmosfæriske friksjonen som virkar i motsett retning av tyngdekrafta). Ved denne farten akselererer ikkje lekamen lenger og fell med konstant fart. Visst ein lekam fell nedover med større fart enn terminalfarten (til dømes at den kom frå tynnare luft eller endra form) vil den sakke av til den når terminalfarten.

Terminalfarten til ein fallskjermhoppar i vanleg fritt fall er om lag 195 km/t. Dei når halvparten av terminalfarten etter berre 3 sekund, medan det tar 8 sekund å nå 90 % og 15 sekund å nå 99 % av terminalfarten. Fallskjermhopparane kan nå høgare fart visst dei legg armane og beina inntil kroppen, opptil 320 km/t.

Årsaka til at ein lekam når ein terminalfart er at luftmotstanden er direkte proporsjonal med rota av farten. Ved låg fart er luftmotstanden mykje mindre enn tyngdekrafta, og lekamen akselererer. Når farten aukar, aukar òg luftmotstanden heilt til den er like stor som vekta av lekamen. Luftmotstanden er òg avhengig av tverrsnittarealet. Dette er årsaka til at lekamar med stor overlate, slik som ein fallskjerm, har lågare terminalfart enn mindre lekamar som kanonkuler.

Matematisk kan terminalfarten skrivast som

$V_{t}={\sqrt {\frac {2mg}{\rho AC_{d}}}}$

der

$V_{t}$ er terminalfarten

$m$ er massen til den fallande lekamen

$g$ er tyngdeakselerasjonen

$C_{d}$ er luftmotstandskoeffisienten

$\rho$ er tettleiken til væska lekamen fell gjennom og

$A$ er lekamen sitt tverrsnittareal.

Denne likninga får ein frå friksjonslikninga ved å sette luftmotstanden lik mg, som er tyngdekrafta til lekamen.

Merk at lufttettleiken aukar når høgda minkar, om lag 1 % per 80 m (sjå hydrostatisk likning). Derfor minkar terminalfarten med 1 % når ein lekam har fall 160 m. Viss lekamen held seg uendra vil farten altså minke jo nærmare bakken ein kjem.

Tilnærming

Tilnærma terminalfart er mykje enklare å finne enn terminalfarten, fordi det er vanskeleg å finne verdien til $C_{d}$. Ein enkel skaleringsmetode er å henge ein lekam ut vindauget på ein bil i ein tynn tråd. Terminalfarten til lekamen er farten bilen har når lekamen heng med 45° vinkel. Dette kan ein enkelt vise matematisk fordi det skjer når luftmotstanden (i horisontal retning) er lik tyngdekrafta.

Utleiing

To krefter virkar på ein fallande lekam: tyngdekrafta og luftmotstanden. Dette kan uttrykkast som:

$F=mg-qv^{2}\,$

der

m er massen til lekamen

g er tyngdeakselerasjonen

q er ${\frac {1}{2}}\rho C_{d}A$ frå friksjonslikninga.

Terminalfarten har ein når $F=0$, slik at

$mg-qv^{2}=0\,$

eller ved å løyse med omsyn på $v$,

$v_{t}={\sqrt {\frac {mg}{q}}}={\sqrt {\frac {2mg}{\rho AC_{d}}}}\,$

Ein kan finne farten som ein funksjon av tida når ein har tyngde og friksjonskrefter. Ein startar igjen med $F=mg-qv^{2}$, og merk at $F=ma$. Dette fører til ei differensiallikning:

$m{\frac {dv}{dt}}=mg-qv^{2}\,$

Vi omarrangerer ledda:

${\frac {dv}{dt}}+{\frac {q}{m}}v^{2}=g\,$

Løysinga på denne differensiallikninga involverer ein hyperbolsk funksjon, og er

$v(t)={\sqrt {\frac {gm}{q}}}\tanh \left({\sqrt {\frac {gq}{m}}}t\right)\,$

Byttar vi ut q får vi løysinga:

$v(t)={\sqrt {\frac {2mg}{\rho AC_{d}}}}\tanh \left(t{\sqrt {\frac {g\rho C_{d}A}{2m}}}\right)\,$

Vi kan òg bruke denne funksjonen $v(t)$ for å finne terminalfarten. Når $t$ går mot uendeleg, vil tanh leddet gå mot 1, og vi får:

$v_{t}={\sqrt {\frac {2mg}{\rho AC_{d}}}}\,$

Sjå òg

• Akselerasjon
• Friksjon
• Newton sine lover