Store talls lov

«De store talls lov» er et begrep som beskriver det forhold at jo flere tilfeller man har av en hendelse jo nærmere vil man komme det forventede resultatet. Hvis man f.eks. kaster seks ganger med en terning kan man teoretisk forvente å få en sekser én gang, men i praksis vil det være litt tilfeldig om man får ingen, én eller flere seksere. Hvis man derimot kaster 100 ganger med terningen kan man være sikrere på at resultatet vil nærme seg at man får en sekser en sjettedel av gangene, og kaster man tusen ganger vil man ventelig komme enda nærmere en sjettedel seksere, osv.

I statistikk sier store talls lov at gjennomsnittet av tilfeldige utvalg fra en populasjon sannsynligvis ligger i nærheten av gjennomsnittet av hele populasjonen.

I sannsynlighetsteori sier store talls lov at gjennomsnittet av en følge av stokastiske variabler med samme sannsynlighetsfordeling konvergerer mot deres felles forventningsverdi, når antall variabler går mot uendelig.

Den svake loven

Store talls svake lov sier at hvis X₁, X₂, X₃, ... er en uendelig følge av uavhengige stokastiske variabler med samme forventningsverdi $\mu <\infty$, så vil gjennomsnittet av de n første variablene

${\overline {X}}_{n}=(X_{1}+\cdots +X_{n})/n$

konvergere mot μ når n går mot uendelig. Mer presist, for ethvert positivt tall ε er

$\lim _{n\rightarrow \infty }\operatorname {P} \left(\left|{\overline {X}}_{n}-\mu \right|<\epsilon \right)=1.$

Denne formuleringen krever ikke at $\sigma ^{2}<\infty$ men dette gjør beviset mye enklere. Nemlig, hvis man antar $\sigma ^{2}<\infty$ kan man bruke Tsjebysjevs ulikhet. Siden alle variablene er uavhengige og har lik varians, har man

$\operatorname {var} ({\overline {X}}_{n})={\frac {\sigma ^{2}}{n}}.$

Ved Tsjebysjevs ulikhet, får vi

$\operatorname {P} (\left|{\overline {X}}_{n}-E{\overline {X}}_{n}\right|\geq \epsilon )\leq {\frac {\operatorname {var} ({\overline {X}}_{n})}{\epsilon ^{2}}}.$

Det følger at

$\operatorname {P} (\left|{\overline {X}}_{n}-E{\overline {X}}_{n}\right|\leq \epsilon )=1-\operatorname {P} (\left|{\overline {X}}_{n}-E{\overline {X}}_{n}\right|>\epsilon )\geq 1-\operatorname {P} (\left|{\overline {X}}_{n}-E{\overline {X}}_{n}\right|\geq \epsilon )\geq 1-{\frac {\sigma ^{2}}{\epsilon ^{2}n}}.$

Når n går mot uendelig, går dette uttrykket mot 1.

Den sterke loven

Store talls sterke lov sier at hvis X₁, X₂, X₃, ... er en uendelig følge uavhengige stokastiske variabler med samme sannsynlighetsfordeling, med forventningsverdi $\mu <\infty$, så er

$\operatorname {P} \left(\lim _{n\rightarrow \infty }{\overline {X}}_{n}=\mu \right)=1.$