Asymptote
En asymptote til en funksjon er i analytisk geometri en rett linje som funksjonen nærmer seg når argumentet eller funksjonsverdien går mot pluss eller minus uendelig.[1] Noen forfattere krever at funksjonen ikke krysser asymptoten uendelig mange ganger, men dette er ikke et vanlig krav.[2] Alternativt kan en asymptote defineres som tangenten til grafen til funksjonen i uendelig.[3]
Når er en asymptote til funksjonen , så kan dette også uttrykkes som at nærmer seg asymptotisk, når går mot en gitt grenseverdi.
En asymptote kan være vertikal, horisontal eller skrå. Beskrivelse av eventuelle asymptoter er en viktig del av kartleging av egenskapene til en funksjon. En parabel har ingen asymptoter, eksponentialfunksjonen har én, hyperbelen har to og tangensfunksjonen har uendelig mange asymptoter.
En asymptote er vanligvis en rett linje, men begrepet kan generaliseres til å gjelde en vilkårlig kurve, en kurvelineær asymptote.
Navnet «asymptote» kommer fra latin asymptota (linea), «(en linje som) ikke møtes».
Formell definisjon
redigerEn funksjon har en asymptote når går mot uendelig dersom
Tilsvarende vil være en asymptote for funksjonen når går mot minus uendelig dersom
Uttrykket sier at avstanden mellom funksjonen og asymptoten stadig blir mindre når vokser mot pluss eller minus uendelig. For vil asymptoten være horisontal, for alle andre verdier vil asymptoten være skrå.
Funksjon har en loddrett asymptote dersom funksjonen går mot pluss eller minus uendelig når nærmer seg , enten ovenfra, nedenfra eller fra begge sider. Dette er oppfylt dersom minst ett av de følgende uttrykkene er sann:
Eksempler
redigerEksponentialfunksjonen
redigerEksponentialfunksjonen har én asymptote: Når går mot minus uendelig vil funksjonen nærme seg den horisontale asymptoten .
Hyperbelen
redigerEn hyperbel har to asymptoter. Eksempelvis vil hyperbelen ha både - og -aksen som asymptoter.
En oscillerende funksjon
redigerFunksjonen definert ved
oscillerer omkring -aksen og krysser aksen uendelig mange ganger. Denne aksen er en asymptote, så lenge en ikke stiller krav til antall skjæringspunkt mellom funksjonsgrafen og asymptoten.
Tangensfunksjonen
redigerTangensfunksjonen har uendelig mange vertikale asymptoter, definert for verdiene
Metoder for å bestemme asymptoter
redigerGenerell metode for å finne en skrå asymptote
redigerFor en gitt funksjon kan en undersøke om funksjonen har en asymptote ved først å undersøke grenseverdiene
Her må en undersøke både når går mot minus og pluss uendelig, det vi si at enten er lik eller . Dersom en grenseverdi er endelig, så har funksjonen en skrå asymptote. Da kan den andre koeffisienten bestemmes ved
Som illustrasjon kan en undersøke funksjonen gitt ved
Her eksisterer grenseverdier for både når går mot minus og pluss uendelig:
For den andre koeffisienten finner en
Det vil si at den rette linja er en skrå asymptote både når går mot minus og pluss uendelig.
Vertikale asymptoter
redigerEn funksjon som kan skrives som et kvotientuttrykk
vil ha vertikale asymptoter i nullpunkter til funksjonen , dersom er ulik null for disse verdiene. For en verdi av der både og har et nullpunkt, kan en bruke l'Hôpitals regel for å finne grenseverdien for når nærmer seg dette nullpunktet.
Rasjonale funksjoner
redigerEn rasjonal funksjon er en funksjon på formen
der både og er polynomer. Som beskrevet i forrige avsnitt vil funksjonen ha vertikale asymptoter i nullpunkt til funksjonen , dersom er ulik null for disse verdiene.
Dersom polynomene og er av samme grad, så vil funksjonen ha en horisontal asymptote , der er lik forholdet mellom koeffisientene til den høyeste potensen i teller og nevner. Den følgende funksjonen vil for eksempel ha en horisontal asymptote lik :
En rasjonal funksjon der graden til er lik graden til pluss 1 kan ha en skrå asymptote. Denne kan en finne ved å utføre polynomdivisjon. Som eksempel kan se på funksjonen
Når går mot uendelig vil det siste leddet i det høyre uttrykket gå mot null. Funksjonen har derfor asymptoten når går mot uendelig. Funksjonen har også en vertikal asymptote i .
Dersom graden til er større enn graden til pluss 1, så vil funksjonen ikke ha rette linjer som asymptoter. Den kan imidlertid ha en kurvelineær asymptote.
Kurvelineære asymptoter
redigerVanligvis vil en asymptote være definert som en rett linje. Det er imidlertid mulig å generalisere begrepet til å omfatte en vilkårlig plan kurve. La A være en plan parametrisk kurve, definert ved koordinatene . Anta at avstanden mellom et punkt på kurven og origo går mot uendelig når parameteren går mot en gitt grense (som kan være uendelig). La B være en annen gitt kurve, og anta at den korteste avstanden mellom A og 'B går mot null når går mot . Kurven B sies da å være en kurvelineær asymptote til A, i motsetning til en vanlig definert lineær asymptote.[trenger referanse]
Som eksempel, så har funksjonen
en kurvelineær asymptote gitt ved
- .
Denne omtales som en parabolsk asymptote, siden kurven B er en parabel.
Etymologi
redigerNavnet «asymptote» kommer fra latin asymptota (linea), «(en linje som) ikke møtes».[4] Adjektivet asymptotus (fem. asymptota) kommer igjen fra gammelgresk ἀσύμπτωτος asýmptōtos («ikke-sammenfallende»), jfr. ἀ- («ikke-») + συν- («sammen», «med») + πτωτός perfektum partisipp m av «å falle»).
Referanser
rediger- ^ G. Thomas, R. Finney (1995). Calculus and Analytic Geometry (9th edition utg.). Reading, USA: Addison-Wesley. ISBN 0-201-53174-7. s.390
- ^ L.A. Talman (2006). «Asymptotes» (PDF) (på engelsk). Arkivert fra originalen (PDF) 29. oktober 2013. Besøkt 9. januar 2020.
- ^ J.D. Lawrence (1972). A Catalog of Special Plane Curves. Mineola, New York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-60288-2. s.31
- ^ S. Schwartzman (1994). The words of mathematics. An etymological dictionary of mathematical terms used in English. (på engelsk). Washington, DC: The Mathematical Association of America. ISBN 0-88385-511-9. s.30
Litteratur
rediger- Adams, Robert (2003). Calculus: A Complete Course (på engelsk). Toronto, Ont. Addison-Wesley. ISBN 0-201-79131-5.
- Clapham, C.; Nicholson, J. (2009). The Concise Oxford Dictionary of Mathematics. Oxford Quick Reference. OUP Oxford. ISBN 978-0-19-157976-9.
- Lindstrøm, T. (2006). Kalkulus. Universitetsforlaget. ISBN 978-82-15-00977-3.