Sentralperspektiv

Sentralperspektiv er en perspektivisk fremstilling av et objekt eller scene hvor hvert punkt på objektet som skal avbildes, forbindes med en rett linje eller lysstråle som går gjennom et fast punkt. Historisk sett identifiseres dette punktet med øyet som ser. Bildet fremkommer derfor ved en sentralprojeksjon. Denne fremstillingen er forskjellig fra en parallellprojeksjon hvor man benytter parallelle linjer ved dannelsen av bildet. Sentralperspektiv blir benyttet innen billedkunst, fotografi, arkitektur, datagrafikk og teknisk tegning.

En lignende sentralprojeksjonen blir også benyttet i camera obscura og projeksjonsapparatet. Objektet i rommet blir her projisert gjennom et punkt til en todimensjonal flate ved bruk av lysstråler.

Mest typisk for sentralperspektivet er at parallelle linjer i objektet vil fremstilles som om de går gjennom samme punkt i bildet. Dette forsvinningspunktet er forskjellig fra forsvinningspunktet for parallelle linjer i en annen retning. Men for parallelle linjer i samme plan ligger de tilsvarende forsvinningspunktene på en rett linje i bildet som er dets horisont. Det er denne grunnleggende egenskapen som ligger bak mye av den praktisk anvendelse av dette perspektivet.

Historie

Bruk av perspektiv i maleriet Flagellazione di Cristo av Piero della Francesca, Nasjonalmuseet i Urbino.

En av de første som forstod hvordan sentralperspektivet skulle benyttes i praksis for å gjøre en billedlig fremstilling mest mulig naturtro, var den italienske arkitekten Filippo Brunelleschi på begynnelsen av 1400-tallet. Denne nye forståelsen ble videre bearbeidet av hans venn og kollega Leon Battista Alberti som i 1436 ga en mer systematisk fremstilling av metoden i verket Trattato della pittura.

Denne beskrivelsen av fremgangsmåten gjaldt for avbildning av objektplanet, men ble noen få tiår senere utvidet av maleren Piero della Francesca i hans verk De prospectiva pingendi til å gjelde hele objektrommet. Som et eksempel viste han hvordan de platonske legemene ville se ut i et riktig sentralperspektiv.

Samme fremstilling av disse ble også benyttet av hans elev Luca Pacioli som i 1509 ga ut verket De divina proportione. Det summerte opp bruken av sentralperspektivet i bildende kunst og var illustrert av Leonardo da Vinci.

Projektiv geometri

Sentralperspektivet kommer frem ved at man tenker seg linjer eller stråler som går fra hvert punkt i objektet til et punkt i øyet. Denne linjebunten danner da en kjegle som bildeplanet skjærer gjennom. Bildet som derved dannes, vil være avhengig av hvordan dette planet er plassert i forhold til kjeglen. Lengder og vinkler mellom linjer i objektet, forandres i bildet. En sirkel vil kunne avbildes som en ellipse eller et annet kjeglesnitt.

Lovene som ligger bak denne bildedannelsen, ble etter hvert bedre forstått og omtales i dag som projektiv geometri. Denne generaliseringen av klassisk geometri ble først gjenomført av den franske arkitekten Girard Desargues på midten av 1600-tallet og fikk sin moderne utforming av den franske matematiker Jean-Victor Poncelet på begynnelsen av 1800-tallet. Bildet som fremkommer ved en sentralprojeksjon kan beskrives i et projektivt plan hvor euklidsk geometri ikke lenger gjelder, men likevel har en streng, matematisk struktur som i moderne tid har fått stor teoretisk og praktisk nytte.

Albertis konstruksjon

Eksempel fra 1436 på bruk av sentralperspektiv i Trattato della pittura av Leon Battista Alberti.

En korrekt, geometrisk forståelse av sentralperspektivet ble først demonstrert i Firenze av Brunelleschi tidlig på 1400-tallet og gjort kjent av Alberti. Denne metoden ble så forbedret og videreutviklet av Piero della Francesca noen tiår senere.

Alberti tenkte seg et objektplan eller grunnplan som skal avbildes på et billedplan som stod normalt på dette. Disse to planene skjærer hverandre i en grunnlinje. Et punkt i objektplanet forbindes med en rett linje som går til øyet. Dette punktet avbildes i billedplanet der denne linjen eller strålen passerer dette. Øyet tenkes vanligvis å befinne seg bak billedplanet i en avstand d fra dette samt i en høyde h over grunnplanet. Punkter som ligger uendelig langt borte, vil nå forbindes med øyet via linjer som er parallelle med dette planet. De vil passere billedplanet et eller annet sted på en linje som ligger i en høyde h over grunnlinjen. Dette er horisonten i bildet.

Parallelle linjer i objektplanet som står normalt på grunnlinjen, vil på denne måten fremstilles i bildet som rette linjer gjennom et punkt på horisonten. Dette er forsvinningspunktet for disse parallelle linjene. Det ligger der en stråle gjennom øyet som går parallelt med grunnplanet og vinkelrett på billedplanet, treffer dette og er bildets hovedpunkt. Parallelle linjer i en annen retning vil ha et annet forsvinningspunkt på horisonten til siden for hovedpunktet.

Projektiv transformasjon

Koordinatsystem for en sentralprojeksjon med bildeplanet i xy-planet normalt på grunnplanet.

For hvert punkt på objektet som skal avbildes, finnes det et bestemt punkt i bildet. Dette kan konstrueres eller beregnes ved bruk av euklidsk geometri basert på at disse to punktene er forbundet med en rett linje som går gjennom øyet. Ved en beregning er det nødvendig å benytte et koordinatsystem. Man kan velge en x-akse langs grunnlinjen og en y-akse normalt på denne og gjennom hovedpunktet H i bildet. Dette har da koordinatene (0,h,0) når z-aksen ligger i grunnplanet. Øyet O får dermed koordinatene (0,h,-d).

Et objektpunkt P' i grunnplanet er gitt med koordinatene (x',0,z'). Punkt P = (x,y,z) på den rette linjen derfra og gjennom øyet O får dermed koordinater gitt ved P = P' + λ(O - P') hvor λ er en parameter langs linjen. Objektpunktet tilsvarer λ = 0, mens øyet er plassert der λ = 1. Da bildeplanet er plassert i z = 0, må punktene i bildet ha λ = z'/(z' + d). Med denne verdien for parameteren kan så x- og y-koordinatene til bildepunktet P som tilsvarer objektpunktet P' , beregnes fra ligningen for linjen. Resultatet blir

x={dx' \over z'+d},\;\;\;y={hz' \over z'+d}

Disse to ligningene beskriver en projektiv transformasjon fra punkt i objektplanet til punkt i bildeplanet. Alle egenskapene til bildet følger fra denne matematiske sammenhengen.

Selv om de to ligningene er ikke-lineære, vil de likevel avbilde en rett linje i objektplanet som en rett linje. Det kan man se ved å skrive dem slik at de tar formen x' = hx/(h - y) og z' = dy/(h - y). Da en rett linje vinkelrett på x-aksen i grunnplanet er gitt som x = a hvor konstanten a angir hvor den skjærer denne aksen, vil den i bildeplanet bli avbildet slik at betingelsen a = hx/(h - y) må være oppfylt. Denne kan skrives om til ligningen y/h = 1 - x/a. I bildeplanet er dette en rett linje som starter i (a,0) og går gjennom (0,h) uavhengig av verdien for a. Dette er derfor forsvinningspunktet. Det tilsvarer at koordinaten for objektpunktet z' → ∞. For disse linjene normalt på grunnlinjen faller forsvinningspunktet sammen med hovedpunktet i bildet.

Forkortning

Hvordan et 4×2 kvadratisk rutemønster i objektplanet geometrisk kan konstrueres i et bildeplanet.

Det som tidligere hadde vært mest usikkert rundt sentralperspektivet, var forkortningen som skulle benyttes i bildet for å fremstille at avstanden mellom ekvidistante linjer i objektplanet som er parallelle med grunnlinjen, avtar med dybden i bildet. En slik linje er gitt ved ligningen z' = b hvor konstanten b angir dens avstand fra grunnlinjen. Innsatt i transformasjonsligningen finner man at den vil opptre i bildet i en høyde over grunnlinjen gitt ved

y={h \over 1+d/b}

Avstanden mellom slike ekvidistante linjer vil derfor avta mot null etter som de nærmer seg horisonten.

Piero della Francesca viste hvordan denne forkortningen kunne konstrueres rent geometrisk på en enkel måte. Man setter av et punkt på horisonten i bildeplanet i avstand d fra y-aksen. Dette punktet knyttes med en rett linje til et punkt på grunnlinjen på den andre siden av y-aksen og i en avstand a fra denne. Der hvor denne linjen skjærer y-aksen, vil det horisontale bildet av linjen z' = b ligge. Dette følger fra transversalteoremet.

Historisk ble denne metoden benyttet til å avbilde korrekt et regulært rutenett i objektplanet, et pavimento. I figuren til høyre er vist hvordan et slikt 4×2 rutenett med kvadratiske fliser vil fremkomme i bildet. Man ser at distansepunktet D til della Francesca med koordinatene (-d,h) på horisonten er forsvinningspunktet for den ene diagonalen i rutene.

Parabel blir ellipse

En parabel i billedplanet med toppunkt i origo har ligningen z' = kx'² hvor k er en konstant som bestemmer dens utstrekning. I en parameterfremstilling kan den alternativt defineres ved de to ligningene x' = t og z' = kt². Toppunktet tilsvarer t = 0, mens den går mot uendelig for t → ± ∞. Fra de projektive transformasjonsligningene vil bildet av parabelen da få parameterfremstillingen

x={dt \over kt^{2}+d},\;\;\;y={hkt^{2} \over kt^{2}+d}

Dette fremstiller en lukket kurve da punktet i det uendelig fjerne t → ± ∞ blir avbildet til hovedpunktet H = (0,h). Mer presist ser man det ved å eliminere parameteren t i de to ligningene. Det gir ligningen

\left({x \over d'/2}\right)^{2}+\left({y-h/2 \over h/2}\right)^{2}=1

som beskriver en ellipse med sentrum i punktet (0,h/2) og med halvakser lik med h/2 og d'/2 hvor d' = √(d/k). Dette er typisk for projektiv geometri hvor de forskjellige kjeglesnittene kan gå over i hverandre under slike projektive transformasjoner.

Topunktsperspektiv

En terning fremstilt i et topunktsperspektiv hvor det er to forsvinningspunkt.

I et kvadratisk rutenett som ligger slik til i grunnplanet at linjene mellom rutene danner en skjev vinkel med grunnlinjen, vil de på et bilde i sentralprojeksjon møtes i to forsvinningspunkt på horisonten. Et vil ligge til venstre for hovedpunktet i avstand d₁ fra dette og tilsvarer de parallelle linjene mellom rutene i en retning. Skaren av linjer mellom rutene i den ortogonale retningen vil gi et tilsvarende forsvinningspunkt til høyre for hovedpunkt i avstand d₂. Disse to avstandene kan finnes fra transformasjonsligningene som gir sammenhengen

d_{1}\cdot d_{2}=d^{2}

hvor d er avstanden til øyet fra bildeplanet.

Denne avbildningen kalles for et topunktsperspektiv. Et eksempel er vist i figuren til høyre hvor en terning er avbildet. Den står på grunnplanet slik at sidekantene er parallelle med bildeplanet. De vil da i bildet gi et forsvinningspunkt som ligger uendelig langt over eller under horisonten og derfor ikke synes. Men derimot når terningen er plassert på skrå i forhold til grunnplanet, vil disse sidekantene gi opphav til et tredje forsvinningspunkt som kan bli synlig i bildet. Terningnen vil da være fremstilt i et trepunktsperspektiv.

Litteratur

Kirsti Andersen, The Geometry of Art: The history of the mathematical theory of perspective from Alberti to Monge, Springer, New York (2007). ISBN 0-387-25961-9.
C.R. Wylie, Projective Geometry, Dover Publications, New York (2008). ISBN 0-486-46895-X.

Eksterne lenker

Leon Battista Alberti, Trattato della pittura, engelsk versjon.
Handprint, Central perspective, for picture making.
American Mathematical Society, Alberti's Perspective Construction.
Helmer Aslaksen, Mathematics in Art and Architecture.
University of Utah, The Geometry of Perspective Drawing on the Computer.