Velocitat

La velocitat (var. abrivada, aviadesa,corsa, rapiditat) es, en fisica, una grandor que mesura lo repòrt d'una evolucion dins lo temps (velocitat de sedimentacion, velocitat d'una reaccion quimica, etc). En cinematica, la velocitat es una grandor vectoriala que mesura, per un movement, lo repòrt de la distància percorrida dins lo temps.

Fotografia que mòstra lo desplaçament de veïculs durant la durada necessària a l'impression de l'imatge. Aquò es una representacion frequenta de la nocion de velocitat.

Istòria del concèpte de velocitat

Retrach de Pierre Varignon, autor de la premiera definicion modèrna de la velocitat.

Una definicion formala longtemps manquèt a la nocion de velocitat, perque los matematicians s'enebiguèron de far lo quocient de doas grandors non omogenèas. De devesir una distància per un temps lor apareguèt doncas tan fals coma nos poiriá semblar uèi de far la soma d'aquela doas grandors. Es atal que per saber s'un còrs èra pus velòç qu'un autre, Galileo Galilei (1564-1642) comparava lo repòrt de las distàncias $s_{1},\,s_{2}$ percorridas per aqueles còrs amb lo repòrt dels temps correspondents $t_{1},\,t_{2}$. Aplicava per aquò l'equivaléncia seguenta:

${\frac {s_{1}}{s_{2}}}\leq {\frac {t_{1}}{t_{2}}}\Leftrightarrow {\frac {s_{1}}{t_{1}}}\leq {\frac {s_{2}}{t_{2}}}$

La nocion de velocitat instantanèa es definida formalament pel primièr còp per Pierre Varignon (1654-1722) lo 5 de julhet de 1698, coma lo repòrt d'una longor infinidament pichona $\mathrm {d} x$ sul temps infinidament pichon $\mathrm {d} t$ mes per percorrir aquela longor. Utilizèt per aquò lo formalisme del calcul diferencial mes al punt catòrze ans pus lèu per Leibniz (1646-1716).

Lo concèpte de velocitat

Cal distinguir dos tipes de velocitat :

• la velocitat mejana, que respond fòrt precisament a la definicion elementària. Se calcula en devesissent la distància percorrida pel temps de correguda ; a un sens sus un periòde donat ;
• la velocitat instantanèa, que s'obten pel passatge al limit de la definicion de la velocitat. Se definís en un instant precís, via la nocion de derivacion $v={\tfrac {\mathrm {d} r}{\mathrm {d} t}}$. Per exemple dins los calculs de cinematica, la velocitat es un vector obtengut en derivant las coordenadas cartesianas de la posicion a respièch del temps :

${\vec {v}}={\frac {\mathrm {d} {\vec {r}}}{\mathrm {d} t}}={\begin{pmatrix}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}\\{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}\\{\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} t}}\end{pmatrix}}$

Lo vector velocitat

Representacion de la massa m, de la posicion r, de la velocitat v e de l'acceleracion a en mecanica newtoniana.

Lo vector velocitat instantanèa ${\vec {v}}$ d'un objècte que sa posicion al temps $t$ es donada per ${\vec {x}}(t)$ es calculat coma la derivada de ${\vec {x}}(t)$ a respièch del temps :

${\vec {v}}={\frac {\mathrm {d} {\vec {x}}}{\mathrm {d} t}}$

L'acceleracion es la derivada de la velocitat a respièch del temps. L'acceleracion es lo taus de cambiament de la velocitat d'un objècte sus un periòde de temps donat. L'acceleracion mejana $a$ d'un objècte que sa velocitat passa de $v_{i}$ a $v_{f}$ pendent un periòde $t$ es donada per :

$a={\frac {v_{f}-v_{i}}{t}}$

Lo vector d'acceleracion instantanèa ${\vec {a}}$ d'un objècte que sa posicion al temps $t$ es donada per ${\vec {x}}(t)$ es :

${\vec {a}}={\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} ^{2}{\vec {x}}}{\mathrm {d} t^{2}}}$

La velocitat finala $v_{f}$ d'un objècte aviant amb la velocitat $v_{i}$ puèi d'acceleracion constanta $a$ pendent un temps $t$ es:

$v_{f}=v_{i}+at\,$

La velocitat mejana d'un objècte subissent una acceleracion constanta es ${\scriptstyle {\frac {1}{2}}}(v_{i}+v_{f})$. Per trobar lo desplaçament $d$ d'un tal objècte accelerant pendent lo periòde $t$, remplaçar aquela expression dins la primièra formula per obtenir :

$d={\frac {v_{i}+v_{f}}{2}}t$

Quand solament la velocitat iniciala de l'objècte es coneguda, se pòt utilizar l'expression :

$d=v_{i}t+{\frac {1}{2}}at^{2}$

Aquelas equacions de basa per la velocitat finala e desplaçament se pòdon combinar per formar una equacion qu'es independenta del temps :

$v_{f}^{2}=v_{i}^{2}+2ad$

Aquelas equacions son validas per la mecanica classica mas pas per la relativitat restrencha. En particular en mecanica classica, totes seràn d'acòrdi sus la valor de $t$ e las règlas de transformacion per la posicion creant una situacion ont totes los observators qu'acceleran pas descrivon l'acceleracion d'un objècte amb las meteissas valors. Ni l'un ni l'autre son pas vertadièrs per la relativitat restrencha.

L'energia cinetica d'un objècte se desplaçant en translacion es proporcionala a sa massa e al carrat de sa velocitat :

$E_{c}={\tfrac {1}{2}}mv^{2}$

L'energia cinetica es una quantitat escalara.

Lo cas particular dels coordenadas polaras

Representacion de la velocitat v, de la velocitat radiala v_r e de la velocitat tengenciala v_t en mecanica classica.

En coordenadas polaras, la velocitat dins lo plan se pòt descompausar en velocitat radiala, $\mathrm {d} r/\mathrm {d} t$, s'alunhant o anant cap a l'origina e la velocitat ortoradiala, dins la direccion perpendiculara (que cal pas confondre amb la compausanta tangenciala), egala a $r{\tfrac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}$ (vejatz velocitat angulara).

Lo moment angular dins lo plan es :

${\vec {L}}=m\ {\vec {r}}\wedge {\vec {V}}=m\;r^{2}\;{\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}{\vec {k}}$.

Se reconeis dins

${\frac {1}{2}}r^{2}{\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} A(t)}{\mathrm {d} t}}$

la velocitat areolara.

Se la fòrça es centrala (vejatz movement de fòrça centrala), alara la velocitat areolara es constanta segon la segonda lei de Kepler).

La velocitat en cinematica

Se distinguís :

• La velocitat curvilinèa, qu'es la distància $d$ percorrida sus una unitat de temps $t$. Es una grandor escalara.

$v={\frac {d}{t}}$

• Lo vector velocitat o la velocitat dins l'espaci, qu'es lo vector

${\vec {v}}={\frac {\mathrm {d} {\vec {r}}}{\mathrm {d} t}}$

ont la nòrma val la velocitat e ont lo sens e la direccion son aqueles del movement de l'objècte considerat. Formalament, lo vector velocitat es la derivada de la posicion de l'objècte a respièch del temps. Quant aquò pòrta pas de confusions, se parla simplament de « velocitat ». E aquí es una grandor vectoriala.

L'unitat internacionala de la velocitat es lo mètre per segonda (m.s^-1); pels veïculs coma las automobilas o los avions, s'utiliza subretot lo quilomètre per ora (km/h). Lo sistèma anglosaxon utiliza la mila per ora (mile per hour, mph). Dins la marina, s'utiliza lo nos, que val una mila marina per ora, o 0,5144 m.s^-1. En aviacion, se pòt utilizar lo mach, mach 1 essent la velocitat del son (que vària en foncion de la temperatura e de la pression).

Annèxas

Ligams intèrnes

• Acceleracion.
• Acceleracion mejana.
• Cinematica.
• Derivada.
• Dinamica.
• Energia cinetica.
• Fisica.
• Mecanica classica.
• Velocitat de la lutz.
• Velocitat del son.
• Velocitat de fasa.
• Velocitat de grope.
• Velocitat relativa.
• Vector.
• Torsador cinematic.
• Trajectòria.
• Batements per minuta (BPM) : unitat de mesura de la « velocitat » d'un tròç de musica.

Bibliografia

• (fr) Michel Blay, Critique de l’histoire des sciences, CNRS, 2017.
• (fr) Maximilien Marie, Histoire des sciences mathématiques et physiques, Gautier-Villars, 1883.
• (de) Ueli Niederer, « Galileo Galilei und die Entwicklung der Physik », dins Vierteljahrsschrift der Naturforschenden Gesellschaft in Zürich, t. 127, n° 3, 1982, pp. 205–229.
• (en) Robert Resnick e Jearl Walker, Fundamentals of Physics, Wiley, 2004.
• (es) Paul A. Tipler, Física para la ciencia y la tecnología, Reverté, 2000.