Dwudziestościan foremny

Dwudziestościan foremny a. ikosaedr lub ikozaedr (z gr.) – najbardziej złożony wielościan foremny o 20 ścianach w kształcie przystających trójkątów równobocznych. Ma 30 krawędzi i 12 wierzchołków oraz 15 płaszczyzn symetrii. Ścinając wierzchołki dwudziestościanu, otrzymujemy wielościan półforemny o nazwie dwudziestościan ścięty. Symetria bryły jest opisana niekrystalograficzną klasą m35.

Dwudziestościan foremny

Dwudziestościan foremny

Animacja obrotu dwudziestościanu

Przykładowa siatka dwudziestościanu foremnego

Wzory i własności

W poniższych wzorach $a$ oznacza długość krawędzi dwudziestościanu foremnego.

• Pole powierzchni całkowitej:

$S=5\ a^{2}{\sqrt {3}}\approx 8{,}6603\ a^{2}$

• Objętość:

$V={\frac {5}{12}}\ a^{3}\ (3+{\sqrt {5}})\approx 2{,}1817\ a^{3}$

• Apoloniusz z Pergi wykazał, że dla dwudziestościanu foremnego i dwunastościanu foremnego opartych na wpisanych kulach o takim samym promieniu zachodzi zależność:

${\frac {V_{20}}{V_{12}}}={\frac {S_{20}}{S_{12}}}={\sqrt {{\frac {3}{10}}\left(5-{\sqrt {5}}\right)}}$

gdzie $V_{n},\;S_{n}$ oznacza odpowiednio objętość i pole powierzchni $n$-ścianu foremnego.

• Promień kuli wpisanej:

$r={\frac {a}{12}}\ {\sqrt {3}}(3+{\sqrt {5}})\approx 0{,}7558\ a$

• Promień kuli opisanej:

$R={\frac {a}{4}}\ {\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}\approx 0{,}9511\ a$

• Promień kuli stycznej do krawędzi

$\delta ={\frac {a(1+{\sqrt {5}})}{4}}$

• kąt między ścianami:

138,2°

• Grupa symetrii:

I_h

Zobacz też

• dwudziestościan ścięty

Linki zewnętrzne

• Konstrukcja dwudziestościanu w oparciu o sześcian