Element odwrotny

Element odwrotny jest uogólnieniem pojęcia odwrotności liczby.

Niech $\diamondsuit$ oznacza działanie dwuargumentowe w zbiorze $S.$ Element $x$ nazywa się elementem odwrotnym do $y$ jeżeli spełnione są dwa warunki^[1]^[2]:

$x\;\diamondsuit \;y=e,$
$y\;\diamondsuit \;x=e,$

gdzie $e$ oznacza element neutralny działania $\diamondsuit .$

Jeżeli działanie $\diamondsuit$ zapisywane jest za pomocą symboli $+,\;\oplus ,\;\cup ,\;\lor ,$ itp. w celu zaznaczenia jego addytywności, to element odwrotny nazywamy przeciwnym i używamy oznaczenia $-x.$ Nazwa odwrotny używana jest w przypadku notacji multiplikatywnej, tj. gdy działanie oznaczamy symbolem zarezerwowanym dla mnożenia: $*,\;\cdot ,\;\otimes ,\;\cap ,\;\land ,\;\star ,$ itp. i oznaczamy $x^{-1}$

Odwrotności jednostronne

Często rozważa się element odwrotny lewostronny do danego, gdy spełniony jest jedynie pierwszy warunek i element odwrotny prawostronny, jeżeli spełniony jest wyłącznie drugi warunek. „Zwykły” element odwrotny nazywa się wtedy elementem odwrotnym obustronnym.

Dany element może mieć wiele elementów odwrotnych prawostronnych i lewostronnych jednocześnie, i nie muszą one być sobie równe! Jeśli jednak działanie jest łączne i dany element ma element odwrotny lewostronny i element odwrotny prawostronny to, są one sobie równe i element ten jest elementem odwrotnym obustronnym. A więc jeśli istnieje, element odwrotny jest tylko jeden.

W większości ważnych praktycznie struktur algebraicznych jak grupy i ciała zwykle postuluje się, aby za pewnymi wyjątkami każdy element był odwracalny.

Przykłady

Niech $\diamondsuit$ będzie dodawaniem liczb rzeczywistych. Elementem odwrotnym do liczby $2$ jest liczba $-2.$ Mamy bowiem: $2+(-2)=0$ oraz $(-2)+2=0$ (zero jest elementem neutralnym dodawania).
Jeżeli $\diamondsuit$ jest mnożeniem liczb rzeczywistych, to elementem odwrotnym do liczby $2$ jest liczba ${\tfrac {1}{2}},$ bo $2\cdot {\tfrac {1}{2}}={\tfrac {1}{2}}\cdot 2=1$ (jedynka jest elementem neutralnym mnożenia).