Funktor (teoria kategorii)

W teorii kategorii funktor to odwzorowanie jednej kategorii do drugiej zachowujące złożenia i morfizmy tożsamościowe. Można o nim myśleć jako o homomorfizmie wyższego rzędu. Ważne jest rozróżnienie dwóch typów funktorów: kowariantnych i kontrawariantnych.

Pojęcie kategorii, funktora i naturalnych transformacji funktorów wprowadzili do matematyki Samuel Eilenberg i Saunders Mac Lane w 1945.

Definicje

Funktor (czyli funktor kowariantny) $F$ z kategorii ${\mathfrak {K}}_{1}$ do ${\mathfrak {K}}_{2}$ to dwa przyporządkowania:

• jedno z nich, przyporządkowanie obiektowe z $\mathrm {Ob} {\mathfrak {K}}_{1}$ do $\mathrm {Ob} {\mathfrak {K}}_{2},$ które każdemu obiektowi $X$ kategorii ${\mathfrak {K}}_{1}$ przyporządkowuje obiekt $F(X)$ kategorii ${\mathfrak {K}}_{2},$
• drugie zaś, przyporządkowanie morfizmowe z $\mathrm {Morf} {\mathfrak {K}}_{1}$ do $\mathrm {Morf} {\mathfrak {K}}_{2},$ które każdemu morfizmowi $f\colon X\to Y$ kategorii ${\mathfrak {K}}_{1}$ przyporządkowuje morfizm $F(f)\colon F(X)\to F(Y)$ kategorii ${\mathfrak {K}}_{2}.$

Przyporządkowania te mają spełniać następujące dwa warunki:

• dla każdego obiektu $X$ kategorii ${\mathfrak {K}}_{1}$ zachodzi $F(\operatorname {id} _{X})=\operatorname {id} _{F(X)},$
• dla każdych dwóch morfizmów $f\colon X\to Y,$ $g\colon Y\to Z$ kategorii ${\mathfrak {K}}_{1}$ zachodzi $F(g\circ f)=F(g)\circ F(f).$

Niech ${\mathfrak {K}}^{\mathrm {op} }$ oznacza kategorię dualną do ${\mathfrak {K}}.$ Przez funktor kontrawariantny z ${\mathfrak {K}}_{1}$ do ${\mathfrak {K}}_{2}$ rozumiemy funktor kowariantny z ${\mathfrak {K}}_{1}^{\mathrm {op} }$ do ${\mathfrak {K}}_{2}.$ Funktor taki zamienia kierunki strzałek na przeciwne i odwraca kolejność składania.

Można też rozważać funktory wielu zmiennych, zwane multifunktorami, określone na odpowiednio zdefiniowanym produkcie kategorii ${\mathfrak {K}}_{1}\times \ldots \times {\mathfrak {K}}_{n}.$ W przypadku n=2 używa się nazwy bifunktor. Funktory o tej samej dziedzinie i przeciwdziedzinie nazywa się funktorami równoległymi.

Jeśli $\Phi \colon {\mathfrak {A}}\to {\mathfrak {B}}$ i $\Psi \colon {\mathfrak {B}}\to {\mathfrak {C}}$ są dwoma funktorami, to ich złożenie $\Psi \circ \Phi \colon {\mathfrak {A}}\to {\mathfrak {C}}$ powstaje przez złożenie poszczególnych przyporządkowań obiektowych $\Psi \circ \Phi (A)=\Psi \left(\Phi (A)\right)$ dla $A\in \mathrm {Ob} {\mathfrak {A}}$ i przyporządkowań morfizmowych $\Psi \circ \Phi (\alpha )=\Psi \left(\Phi (\alpha )\right)$ dla $\alpha \colon A_{1}\to A_{2}$ w $\mathrm {Morf} {\mathfrak {A}}.$

Funktor $\Phi \colon {\mathfrak {A}}\to {\mathfrak {B}}$ nazywa się izomorfizmem kategorii ${\mathfrak {A}}$ i ${\mathfrak {B}},$ gdy istnieje funktor $\Psi \colon {\mathfrak {B}}\to {\mathfrak {A}}$ taki, że oba złożenia $\Psi \circ \Phi \colon {\mathfrak {A}}\to {\mathfrak {A}}$ i $\Phi \circ \Psi \colon {\mathfrak {B}}\to {\mathfrak {B}}$ są odpowiednimi funktorami tożsamościowymi, tzn. takimi, że odpowiadające im przyporządkowania są tożsamościami. Łatwo sprawdzić, że funktor $\Phi \colon {\mathfrak {A}}\to {\mathfrak {B}}$ jest izomorfizmem kategorii wtedy i tylko wtedy, gdy odpowiadające mu przyporządkowania $A\mapsto \Phi (A),$ $\alpha \mapsto \Phi (\alpha )$ są bijekcjami.

Przykłady funktorów

• Niech $G_{X}$ oznacza grupę wolną generowaną przez zbiór $X$ jej wolnych generatorów, $X\subset G.$ Wówczas każda funkcja $f\colon X\to Y$ ma jednoznaczne przedłużenie do homomorfizmu $F(f)\colon G_{X}\to G_{Y}.$ W ten sposób otrzymuje się funktor kowariantny z kategorii Set (zbiorów i funkcji ze zbioru w zbiór) do kategorii Grp (grup i homomorfizmów).
• Funktory zapominania (ang. forgetful functors) to szeroka klasa funktorów polegających na pomijaniu jakiejś struktury lub jej części („zapominaniu” o niej). Na przykład przyporządkowując każdej grupie $G$ jej nośnik (tzn. zbiór jej elementów, bez żadnego działania) i każdemu homomorfizmowi $f\colon G\to H$ tę samą funkcję z $G$ do $H,$ otrzymujemy funktor z kategorii grup Grp w kategorię zbiorów Set. Podobnie określone są funktory zapominania z Vect_{$\mathbb {R}$} do Ab, bo każda przestrzeń liniowa jest też grupą abelową z działaniem +, a każdy operator liniowy jest zarazem homomorfizmem grup („zapomina się” o mnożeniu przez skalary). Można też rozważać np. funktor zapominania z Metr do kategorii Top przestrzeni topologicznych i przekształceń ciągłych („zapomina się” o metryce, zachowując wyznaczoną przez nią topologię).
• Funktor $-\!\!\!\times \!\!B$ z Set do Set mnożenia kartezjańskiego przez ustalony zbiór $B$ przyporządkowuje każdemu zbiorowi $X$ zbiór $\Phi (X)=X\times B,$ a każdej funkcji $\alpha \colon X\to Y$ przyporządkowuje funkcję $\Phi (\alpha )\colon X\times B\to Y\times B$ zdefiniowaną jako $\Phi (\alpha )(x,b)=(\alpha (x),b)$ dla $x\in X,$ $b\in B.$ Analogicznie dla ustalonego obiektu $A$ definiuje się funktor $A\!\!\times \!\!\!-$ z Set do Set.
• Bifunktor $-\!\!\!\times \!\!\!-$ z Set$\times$Set do Set mnożenia kartezjańskiego przyporządkowuje każdej parze zbiorów $X,Y$ zbiór $\Phi (X,Y)=X\times Y,$ a każdej parze funkcji $\alpha \colon X_{1}\to X_{2},$ $\beta \colon Y_{1}\to Y_{2}$ przyporządkowuje funkcję $\Phi (\alpha ,\beta )\colon X_{1}\times Y_{1}\to X_{2}\times Y_{2}$ zdefiniowaną jako $\Phi (\alpha ,\beta )(x_{1},y_{1})=(\alpha (x_{1}),\beta (y_{1}))$ dla $x_{1}\in X_{1},$ $y_{1}\in Y_{1}.$
• Funktorami między dwoma zbiorami częściowo uporządkowanymi (posetami) traktowanymi jako kategorie są funkcje monotoniczne.

Funktory główne

Niech ${\mathfrak {K}}$ będzie kategorią. Jeśli $A,B$ są jej obiektami, oznaczmy przez $\mathrm {Morf} (A,B)$ lub $\mathrm {Morf} _{\mathfrak {K}}(A,B)$ zbiór wszystkich morfizmów z $A$ do $B.$ Wymaga to założenia, że ${\mathfrak {K}}$ jest kategorią lokalnie małą (tzn. taką, że owe klasy są zbiorami).

Niech $A$ będzie ustalonym obiektem. Jeżeli $\beta \colon B_{1}\to B_{2}$ jest morfizmem w ${\mathfrak {K}},$ to dla każdego $\alpha \colon A\to B_{1}$ należącego do $\mathrm {Morf} (A,B_{1})$ złożenie $\beta \alpha \colon A\to B_{2}$ należy do $\mathrm {Morf} (A,B_{2}).$ Oznaczmy przez $\mathrm {Morf} (A,\beta )$ opisane tu przyporządkowanie $\alpha \mapsto \beta \alpha .$ Powstaje w ten sposób funktor kowariantny z ${\mathfrak {K}}$ do Set, oznaczany $\mathrm {Morf} (A,-);$ jest to funktor główny kowariantny wyznaczony przez obiekt $A$. Bywa też zwany hom-functor (zwłaszcza w kontekście algebry) i oznaczany

$\mathrm {Hom} (A,-)$ lub ${\mathfrak {K}}(A,-),$ lub $(A,-)_{\mathfrak {K}},$ lub $\mathrm {Morf} _{\mathfrak {K}}(A,-).$

Jeśli $B$ jest ustalonym obiektem kategorii ${\mathfrak {K}},$ to analogicznie definiuje się funktor główny kontrawariantny $\mathrm {Morf} (-,B),$ przyporządkowujący każdemu morfizmowi $\alpha \colon A_{1}\to A_{2}$ przekształcenie $\mathrm {Morf} (\alpha ,B)$ przyporządkowujące morfizmom $\beta \colon A_{2}\to B$ należącemu do $\mathrm {Morf} (A_{2},B)$ złożenie $\beta \alpha \colon A_{1}\to B$ należące do $\mathrm {Morf} (A_{1},B).$

Można też rozważać bifunktor główny $\mathrm {Morf} (-,\!-)$ z ${\mathfrak {K}}^{\mathrm {op} }\times {\mathfrak {K}}$ do Set, kontrawariantny w pierwszej zmiennej i kowariantny w drugiej.

Funktory wierne i pełne

Załóżmy, że $\Phi \colon {\mathfrak {A}}\to {\mathfrak {B}}$ jest funktorem. Obcinając przyporządkowanie $\Phi$ do zbioru $\mathrm {Morf} _{\mathfrak {A}}(A_{1},A_{2}),$ otrzymamy funkcję $\Phi _{A_{1},A_{2}}$ z tego zbioru do $\mathrm {Morf} _{\mathfrak {B}}(\Phi (A_{1}),\Phi (A_{2})).$ Mówimy, że funktor $\Phi$ jest wierny, gdy dla każdej pary obiektów $(A_{1},A_{2})$ kategorii ${\mathfrak {A}}$ indukowana funkcja $\Phi _{A_{1},A_{2}}$ jest iniekcją. Jest to pojęcie ważne z uwagi na to, że często funktor wierny $\Phi$ nie jest iniektorem, tzn. warunek $\alpha _{1}\neq \alpha _{2}$ nie pociąga tego, że $\Phi (\alpha _{1})\neq \Phi (\alpha _{2}).$ Np. funktor zapominania z kategorii Top przestrzeni topologicznych i odwzorowań ciągłych do Set jest wierny, ale nie jest iniektorem, bowiem jeżeli X, Y są dwiema przestrzeniami topologicznymi o tym samym nośniku (np. odcinek [0,1] ze zwykłą topologią i ten sam zbiór punktów z topologia dyskretną), to $\operatorname {id} _{X}$ i $\operatorname {id} _{Y}$ są dwoma różnymi morfizmami w Top, a ich obrazy w Set są identyczne.

Mówimy, że funktor $\Phi$ jest pełny, gdy dla każdej pary obiektów $(A_{1},A_{2})$ kategorii ${\mathfrak {A}}$ indukowana funkcja $\Phi _{A_{1},A_{2}}$ jest suriekcją. Funktor zapominania Top→Set nie jest pełny, bowiem np. w obrazie zbioru $\mathrm {Morf} _{\mathbf {Top} }(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )$ są funkcje nieciągłe. Podkategoria ${\mathfrak {A}}$ kategorii ${\mathfrak {B}}$ jest pełna, gdy funktor inkluzji podkategorii ${\mathfrak {A}}\to {\mathfrak {B}}$ jest pełny.

Zobacz też

• teoria kategorii
• kategoria (matematyka)
• transformacja naturalna
• funktory sprzężone

Bibliografia

• Zbigniew Semadeni, Antoni Wiweger: Wstęp do teorii kategorii i funktorów. Wyd. 2. T. 45. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1978, seria: Biblioteka Matematyczna.
• Saunders Mac Lane: Categories for the working mathematician. Berlin Heidelberg New York: Springer Verlag, 1971. ISBN 3-540-90036-5.

Literatura dodatkowa

• Andrzej Białynicki-Birula: Zarys algebry. T. 63. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1987, seria: Biblioteka Matematyczna. ISBN 83-01-06260-6.

Linki zewnętrzne

• Marek Zawadowski, Elementy teorii kategorii, skrypt dla studentów Wydziału MIM UW, 29 listopada 2019 [dostęp 2021-08-17].
• Functor (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].