Krzywa eliptyczna

Krzywa eliptyczna – pojęcie z zakresu geometrii algebraicznej, oznaczające według współczesnej definicji gładką krzywą algebraiczną (czyli rozmaitość algebraiczną wymiaru 1) o genusie równym 1 wraz z wyróżnionym punktem $O,$ zwanym „punktem w nieskończoności”. Elementy krzywej rozumianej jako zbiór nazywa się, zgodnie z terminologią geometryczną, punktami.

Krzywa eliptyczna

Dowodzi się, że każda krzywa eliptyczna jest rozmaitością abelową – można na niej zdefiniować w sensowny (zgodny z własnościami geometryczno-algebraicznymi) sposób operację grupową („dodawanie” punktów), dla której $O$ jest elementem neutralnym.

Można również pokazać, że każdą krzywą eliptyczną nad dowolnym ciałem $K$ można zapisać w postaci równania

$y^{2}+a_{1}xy+a_{3}y=x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{4}x+a_{6}$

dla pewnych stałych $a_{k}\in K,$ gdzie $x,$ $y$ to współrzędne punktów na płaszczyźnie $K^{2}.$ Reprezentacja taka z reguły nie jest jednoznaczna. W szczególnych przypadkach definicję tę można znacznie uprościć. Równanie to przedstawia tzw. model afiniczny krzywej eliptycznej.

Postać normalna krzywej

W przypadku, gdy charakterystyka ciała $K$ jest inna, niż 2 i 3 (czyli, w szczególności, np. jeśli krzywa jest zdefiniowana nad ciałem liczb zespolonych), równanie afiniczne krzywej można uprościć do postaci

$y^{2}=x^{3}+Ax+B,\quad \quad A,B\in K$

nazywanej równaniem (postacią) Weierstrassa.

Dla ciała charakterystyki 3 najbardziej ogólną postacią równania jest

$y^{2}=4x^{3}+b_{2}x^{2}+2b_{4}x+b_{6}.$

Zastosowania

Dzięki zastosowaniu krzywych eliptycznych udało się rozwiązać jeden z najstarszych problemów matematycznych: przeprowadzić dowód wielkiego twierdzenia Fermata. Problem ten pozostawał nierozwiązany przez ponad 300 lat, zaś jego rozwiązanie podał Wiles w roku 1993, korzystając właśnie z pojęć z zakresu krzywych eliptycznych. Dowód jednak zawierał luki, które wraz ze współpracownikami Wilesowi udało się usunąć w roku 1994.

Jednym z kluczowych zastosowań krzywych eliptycznych współcześnie jest kryptografia.

Zobacz też

• funkcje eliptyczne
• funkcje eliptyczne Jacobiego
• funkcje eliptyczne Weierstrassa
• kryptografia krzywych eliptycznych

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Elliptic Curve, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-12]  (ang.).
• Jennifer Balakrishnan, E is for Elliptic Curves (ang.), Oxford University Mathematical Institute, maths.ox.ac.uk, 19 sierpnia 2022 [dostęp 2023-05-29].