Przestrzeń unormowana

Przestrzeń unormowana – przestrzeń liniowa, w której określono pojęcie normy będące uogólnieniem pojęcia długości (modułu) wektora w przestrzeni euklidesowej.

Przestrzenie unormowane pojawiają się w różnych działach matematyki, jak np. analiza matematyczna, rachunek prawdopodobieństwa czy równania różniczkowe.

Podwaliną powstania teorii przestrzeni unormowanych stały się badania zainicjowane przez matematyków w pierwszej połowie XX w. nad przestrzeniami Banacha. Przestrzeniami Banacha są przestrzenie unormowane, takie że norma indukuje metrykę, przy czym metryka ta ma szczególną własność – jest zupełna.

Teoria przestrzeni unormowanych, szczególnie teoria przestrzeni Banacha, jest jedną z głównych gałęzi analizy funkcjonalnej.

Definicje: normy, przestrzeni unormowanej

Niech $X$ będzie przestrzenią liniową nad ciałem $K$ liczb rzeczywistych bądź zespolonych.
Odwzorowanie $\|{\cdot }\|\colon X\to [0,\infty )$ nazywa się normą w przestrzeni $X,$ jeśli dla wszystkich elementów $x,y\in X$ i skalarów $\alpha \in K$ spełnia następujące warunki:

1. niezdegenerowania
   $\|x\|=0\Rightarrow x=0;$
2. dodatniej jednorodności
   $\|\alpha x\|=|\alpha |\|x\|;$
3. nierówności trójkąta (podaddytywności)
   $\|x+y\|\leqslant \|x\|+\|y\|.$

Przestrzeń $X$ z określoną normą $\|{\cdot }\|$ nazywa się przestrzenią unormowaną.

Uwagi

(1) Każde odwzorowanie spełniające warunek 2. spełnia również warunek

$x=0\Rightarrow \|x\|=0.$

(2) Z tego powodu wielu autorów zamiast warunku 1. przyjmuje następujący warunek

$\|x\|=0\Leftrightarrow x=0.$

Przykłady norm

Kule (koła) jednostkowe na płaszczyźnie dwuwymiarowej w sensie norm $\|{\cdot }\|_{1},\|{\cdot }\|_{2}$ i $\|{\cdot }\|_{\infty }.$

P-normy

W przestrzeniach współrzędnych $X=\mathbb {R} ^{n}$ lub $X=\mathbb {C} ^{n}$ można wprowadzić wiele norm. Niech $\mathbf {x} =(x_{1},\dots ,x_{n})\in X.$

Funkcje postaci

$\|\mathbf {x} \|_{p}={\big (}|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\ldots +|x_{n}|^{p}{\big )}^{1/p}$

są normami dla $1\leqslant p<\infty ,$ nazywanymi p-tymi normami.

Normę $\|{\cdot }\|_{2}$ nazywa się normą euklidesową i oznacza po prostu $|{\cdot }|,$ o ile nie prowadzi to do nieporozumień.

Norma maximum

W przestrzeni $X$ można wyróżnić także normę maksimum zadaną wzorem

$\|\mathbf {x} \|_{\infty }=\max {\big \{}|x_{i}|\colon \,i=1,\dots ,n{\big \}}.$

Jej oznaczenie jest zgodne z p-tymi normami w tym sensie, iż $\|\mathbf {x} \|_{p}\to \|\mathbf {x} \|_{\infty }$ przy $p\to \infty .$

Norma supremum

Jeżeli $K$ jest przestrzenią zwartą, to przestrzeń $C(K)$ wszystkich rzeczywistych funkcji ciągłych, określonych na $K,$ jest przestrzenią unormowaną (a nawet przestrzenią Banacha) z normą daną wzorem

$\|f\|=\sup\{|f(x)|\colon x\in K\}.$

Norma indukowana przez iloczyn skalarny

Tw. 1

Jeśli $X$ jest przestrzenią unitarną z iloczynem skalarnym $\langle \cdot ,\cdot \rangle ,$ to dla dowolnego $x\in X$ wzór

$\|x\|:={\sqrt {\langle x,x\rangle }}$

definiuje normę w tej przestrzeni.

Df. 2

Normą generowaną (indukowaną) przez iloczyn skalarny nazywa się normę zdefiniowaną w oparciu o iloczyn skalarny.

Tw. 2 (tożsamość równoległoboku)

Normy generowane przez iloczyn skalarny spełniają tożsamość równoległoboku, tzn.

$2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2}=\|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}.$

Tw. 3 (tożsamość polaryzacyjna)

Jeśli norma danej przestrzeni nie spełnia tożsamości równoległoboku, to nie można w niej wprowadzić iloczynu skalarnego; jeśli jednak spełnia ona tę tożsamość, to iloczyn skalarny zadany jest za pomocą następującej tożsamości polaryzacyjnej:

$\langle x,y\rangle ={\tfrac {1}{4}}\sum _{k=0}^{3}i^{k}\|x+i^{k}y\|^{2}={\tfrac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}+i\|x+iy\|^{2}-i\|x-iy\|^{2}\right).$

Równoważność norm

Df. 3 (równoważności norm)

Dwie normy przestrzeni liniowej nazywane są równoważnymi, gdy metryki przez nie generowane wyznaczają tę samą topologię.

Uwaga: Badanie równoważności norm sprowadza się z powyższej racji do badania równoważności metryk.

Tw. 4 (o równoważności norm)

Warunkiem koniecznym i wystarczającym równoważności norm $\|{\cdot }\|_{1},\ \|{\cdot }\|_{2}$ w przestrzeni $X$ jest istnienie dwóch takich dodatnich liczb rzeczywistych $c,C,$ które dla każdego elementu $x\in X$ spełniają warunek

$c\|x\|_{1}\leqslant \|x\|_{2}\leqslant C\|x\|_{1}.$

Tw. 5 (o zupełności norm)

Z powyższego wynika bezpośrednio, że:

Jeżeli dwie normy w danej przestrzeni są równoważne oraz jedna z nich jest zupełna (w sensie metryk przez nie indukowanych), to druga również jest zupełna.

Tw. 6

W skończeniewymiarowej (rzeczywistej bądź zespolonej) przestrzeni liniowej istnieje dokładnie jedna topologia liniowa – oznacza to, że wszystkie normy są takiej przestrzeni parami równoważne i zupełne.

Tw. 7

W każdej nieskończeniewymiarowej (rzeczywistej bądź zespolonej) przestrzeni liniowej można wprowadzić nieskończenie wiele parami nierównoważnych norm.

Przykłady przestrzeni unormowanych

(1) Przestrzenie należące do przestrzeni Banacha, np. przestrzenie L^p, przestrzenie Sobolewa, przestrzenie Hardy’ego.

(2) Każda podprzestrzeń liniowa przestrzeni Banacha, która nie jest domknięta, jest przestrzenią unormowaną (ale nie jest przestrzenią Banacha).

(3) Przestrzeń $c_{00}$ wszystkich ciągów liczbowych, których tylko skończenie wiele wyrazów jest niezerowych jest przestrzenią unormowaną, ale niezupełną (przestrzeń ta jest podprzestrzenią przestrzeni $\ell ^{\infty }$).

(4) Przestrzeń funkcji całkowalnych w sensie Pettisa (o wartościach w przestrzeni nieskończeniewymiarowej) – to przestrzeń unormowana, ale niezupełna.

Norma a metryka i topologia

Metryka indukowana przez normę

W przestrzeni unormowanej $X$ wzór

$d(x,y)=\|x-y\|$

dla $x,y\in X$ definiuje metrykę na przestrzeni $X.$ Mówimy, że norma indukuje metrykę.

Topologia indukowana przez normę

Topologia indukowana przez normę przestrzeni $X$ jest liniowa w tym sensie, że przestrzeń liniowa $X$ wraz z tą topologią tworzy przestrzeń liniowo-topologiczną (tzn. działania dodawania wektorów i działania mnożenia wektora przez skalar są ciągłe w sensie topologii produktowych, odpowiednio w $X\times X$ i $K\times X$), która jest ponadto lokalnie wypukła L standardową bazą lokalną otoczeń zera tej przestrzeni, złożoną z absolutnie wypukłych zbiorów domkniętych jest rodzina

${\mathcal {B}}_{0}={\Big \{}{\overline {B}}\left(0,{\tfrac {1}{n}}\right)\colon n=1,2,\dots {\Big \}}$

kul domkniętych o środku w zerze i promieniu ${\tfrac {1}{n}}.$

Z drugiej strony, tzw. kryterium Kołmogorowa podaje warunek konieczny i wystarczający na to, aby w danej przestrzeni liniowo-topologicznej można było wprowadzić normę wyznaczającą wyjściową topologię przestrzeni (o przestrzeniach tego typu mówi się, że są normowalne): przestrzeń liniowo-topologiczna jest normowalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest T₁ oraz zawiera wypukłe i ograniczone otoczenie zera (funkcjonał Minkowskiego wypukłego i ograniczonego otoczenia zera jest normą, która wyznacza wyjściową topologię przestrzeni).

Przestrzenie sprzężone i przestrzenie operatorów

Jeżeli $X$ jest dowolną przestrzenią liniową nad ciałem $K,$ to przestrzeń ${\text{Hom}}(X,K)$ funkcjonałów liniowych określonych na $X$ i o wartościach w $K$ oznacza się zwykle symbolem $X'$ i nazywa przestrzenią sprzężoną algebraicznie do $X.$

W kontekście przestrzeni unormowanych rozważa się jednak częściej rodzinę tych funkcjonałów liniowych na nich określonych, które są ciągłe: tworzą one przestrzeń $X^{*},$ nazywaną przestrzenią sprzężoną topologicznie; w przestrzeni tej można w naturalny sposób wprowadzić normę operatorową. Na mocy twierdzenia Banacha-Steinhausa przestrzenie sprzężone do przestrzeni unormowanych są zawsze przestrzeniami Banacha (ograniczając się do przestrzeni nad ciałem liczb rzeczywistych bądź zespolonych), niezależnie od tego, czy przestrzeń $X$ jest zupełna.

Każdą przestrzeń unormowaną X można izometrycznie zanurzyć w drugą przestrzeń sprzężoną $X^{**},$ poprzez odwzorowanie

$\kappa \colon X\to X^{**}$

dane wzorem

$\kappa (x)x^{*}=x^{*}x,\,x^{*}\in X^{*}.$

Z twierdzenia Goldstine’a wynika, że obraz przestrzeni X poprzez odwzorowanie $\kappa$ jest gęstym podzbiorem $X^{**}$ w sensie $X^{*}$-topologii. Ważną klasę przestrzeni unormowanych stanowią przestrzenie refleksywne, tzn. te przestrzenie unormowane dla których odwzorowanie $\kappa$ jest suriekcją. Przestrzeń $X^{**}$ jest przestrzenią Banacha niezależnie od tego czy X ma tę własność, a więc każda unormowana przestrzeń refleksywna jest automatycznie przestrzenią Banacha.

Z każdą parą $(X,Y)$ przestrzeni unormowanych można stowarzyszyć przestrzeń $\operatorname {L} (X,Y)$ wszystkich ciągłych operatorów liniowych $X\to Y.$ W przestrzeni $\operatorname {L} (X,Y)$ wprowadza się normę wzorem

${\begin{aligned}\|\operatorname {A} \|&=\inf {\big \{}c>0\colon \|\operatorname {A} x\|\leqslant c\|x\|,\,x\in X{\big \}}\\&=\sup {\big \{}\|\operatorname {A} x\|\colon x\in X,\,\|x\|\leqslant 1{\big \}}\\&=\sup\{\|\operatorname {A} x\|\colon x\in X,\,\|x\|=1{\big \}}\\&=\sup \left\{{\tfrac {\|\operatorname {A} x\|}{\|x\|}}\colon \,x\in X,\,x\neq 0\right\},\quad \operatorname {A} \in \operatorname {L} (X,Y)\end{aligned}}$

Ostatnie dwie równości mają sens tylko w przypadku, gdy $X$ jest przestrzenią nietrywialną.

Pseudonorma. Przestrzeń pseudounormowana

Df. 3

Niech $X$ będzie przestrzenią liniową nad ciałem $K$ liczb rzeczywistych bądź zespolonych.
Odwzorowanie $\|{\cdot }\|\colon X\to [0,\infty )$ nazywa się pseudonormą w przestrzeni $X,$ jeśli dla wszystkich elementów $x,y\in X$ i skalarów $\alpha \in K$ spełnia następujące warunki:

1. dodatniej jednorodności
   $\|\alpha x\|=|\alpha |\|x\|;$
2. nierówności trójkąta (podaddytywności)
   $\|x+y\|\leqslant \|x\|+\|y\|.$

Uwaga:

Powyższa funkcja $\|{\cdot }\|$ nie spełnia 1-go warunku, określającego normę - niezdegenerowania) - tj. nie jest prawdą, że dla każdego $x:\|x\|=0\Rightarrow x=0.$

Df. 4 Przestrzeń $X$ z określoną pseudonormą $\|{\cdot }\|$ nazywa się przestrzenią pseudounormowaną.

Zobacz też

Inne rodzaje przestrzeni:

• przestrzeń Banacha
• przestrzeń Hilberta
• przestrzeń liniowo-topologiczna
• przestrzeń metryczna
• przestrzeń topologiczna
• przestrzeń unitarna

Bibliografia

• John B. Conway: A course in functional analysis. New York: Springer-Verlag, 1990, s. 67. ISBN 0-387-97245-5.
• Julian Musielak: Wstęp do analizy funkcjonalnej. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1976. Brak numerów stron w książce
• Nicolas Bourbaki: Topological vector spaces. Berlin: Springer, 1987, s. I.3. ISBN 3-540-42338-9.