Regresja liniowa

Regresja liniowa – w modelowaniu statystycznym, metody oparte na liniowych kombinacjach zmiennych i parametrów dopasowujących model do danych. Dopasowana linia lub krzywa regresji reprezentuje oszacowaną wartość oczekiwaną zmiennej $y$ przy konkretnych wartościach innej zmiennej lub zmiennych $x.$ W najprostszym przypadku dopasowana jest stała lub funkcja liniowa, na przykład:

Przykład danych z modelem liniowym dopasowanym metodą najmniejszych kwadratów

$y=\beta _{0}+\beta _{1}x.$

Zmienna $y$ jest tradycyjnie nazywana zmienną objaśnianą lub zależną. Zmienne $x$ nazywa się zmiennymi objaśniającymi lub niezależnymi. Zarówno zmienne objaśniane i objaśniające mogą być wielkościami skalarnymi lub wektorami.

Regresja w ogólności to problem estymacji warunkowej wartości oczekiwanej. Regresja liniowa jest nazywana liniową, gdyż zakładanym modelem zależności między zmiennymi zależnymi a niezależnymi jest przekształcenie liniowe (afiniczne) względem parametrów, reprezentowane w przypadku wielowymiarowym przez macierz.

Model regresji liniowej

Niech dany będzie zbiór danych zaobserwowanych $\{y_{i},\,x_{i1},\dots ,x_{ip}\}_{i=1}^{n}.$ Model regresji liniowej zakłada, że istnieje liniowa (afiniczna) relacja pomiędzy zmienną zależną $y_{i}$ a wektorem $p\times 1$ regresorów $\mathbf {x} _{i}.$ Zależność ta jest modelowana przez uwzględnienie składnika losowego (błędu) $\varepsilon _{i},$ który jest zmienną losową. Dokładniej, model ten jest postaci

$y_{i}=\beta _{0}1+\beta _{1}x_{i1}+\ldots +\beta _{p}x_{ip}+\varepsilon _{i}=\mathbf {x} _{i}^{\top }{\boldsymbol {\beta }}+\varepsilon _{i},\qquad i=1,\dots ,n,$

gdzie $^{\top }$ oznacza transpozycję, tj. $\mathbf {x} _{i}^{\top }{\boldsymbol {\beta }}$ jest iloczynem skalarnym wektorów $\mathbf {x} _{i}$ oraz ${\boldsymbol {\beta }}.$

Powyższe $n$ równań można zapisać w sposób macierzowy:

$\mathbf {y} =X{\boldsymbol {\beta }}+{\boldsymbol {\varepsilon }},$

gdzie:

$\mathbf {y} ={\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\\vdots \\y_{n}\end{pmatrix}},\qquad X={\begin{pmatrix}\mathbf {x} _{1}^{\top }\\\mathbf {x} _{2}^{\top }\\\vdots \\\mathbf {x} _{n}^{\top }\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&x_{11}&\ldots &x_{1p}\\1&x_{21}&\ldots &x_{2p}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&x_{n1}&\ldots &x_{np}\end{pmatrix}},\qquad {\boldsymbol {\beta }}={\begin{pmatrix}\beta _{0}\\\beta _{1}\\\beta _{2}\\\vdots \\\beta _{p}\end{pmatrix}},\qquad {\boldsymbol {\varepsilon }}={\begin{pmatrix}\varepsilon _{1}\\\varepsilon _{2}\\\vdots \\\varepsilon _{n}\end{pmatrix}}.$

Najczęściej wykorzystuje się do tego celu klasyczną metodę najmniejszych kwadratów i jej pochodne. Metoda ta jest najstarsza i najłatwiejsza do zastosowania, choć posiada wady (np. niewielką odporność na elementy odstające), które udało się usunąć w innych, mniej rozpropagowanych metodach. Są to odporne metody statystyczne, do których należy regresja medianowa i algorytmy z regularyzacją.

Kwartet Anscombe’a

Niedostateczność prostych algorytmów w ogólnym przypadku pokazuje m.in. kwartet Anscombe’a – specjalnie przygotowany zestaw czterech zbiorów danych, które mają niemal tożsame wskaźniki statystyczne (średnią i wariancję w kierunku X i Y, współczynnik korelacji oraz prostą regresji) mimo znacząco różnego charakteru danych.

Testy oparte na modelu liniowym

Wiele klasycznych narzędzi statystycznych opatrzonych własnymi nazwami, takich jak współczynnik korelacji $r$ Pearsona, ANOVA czy test t Studenta jest szczególnymi przypadkami lub aspektami modelu liniowego. Dotyczy to również licznych testów nieparametrycznych, w których przypadku zamiast surowych wartości zmiennych stosuje się rangi obserwacji.

Historycznie, klasyczne narzędzia stanowiły proste, gotowe do użycia modele z dobrze opisanymi właściwościami. W wielu przypadkach wymagają one jedynie obliczenia kilku średnich arytmetycznych, ignorując tym samym większość informacji zawartych w danych. W ortodoksyjnym podejściu częstościowym test realizuje się następnie z reguły przez określenie prawdopodobieństwa danych przy założeniu modelu zerowego: o odpowiedniej dla sytuacji strukturze, ale zakładającego zerowe zależności. Modele zerowe dla klasycznych testów mają dobrze znane rozkłady prawdopodobieństwa, i wykonanie testu polegało na odnalezieniu odpowiedniej wartości w standardowej tabeli w podręczniku.

Prostota technik pozwoliła na ich łatwe i powszechne stosowanie w epoce niskiej dostępności i mocy komputerów. Zwyczaj ten ukrywa jednak ich strukturalną i poznawczą banalność, i zachęca do zaniedbywania surowych założeń warunkujących ich trafność. Współcześnie statystycy mogą tworzyć i stosować modele oraz testy dużo dokładniej dopasowane do konkretnych zastosowań i ograniczeń.

Poniższa tabela – oparta na pracy Lindeløva – przedstawia równoważne klasycznym narzędziom modele liniowe, gdzie $D$ reprezentuje zmienne typu dummy, przyjmujące wartości 1 lub 0 dla obserwacji należących (lub nie) do konkretnej grupy obserwacji, $ranga()$ to funkcja mapująca surowe wartości zmiennych na ich relatywne rangi (w niektórych przypadkach ze znakiem, rozróżniając wartości ujemne i dodatnie), a $\epsilon$ to wyraz błędu.

Klasyczne testy statystyczne jako szczególne przypadki regresji liniowej

Nazwa zwyczajowa	Równoważny model liniowy	Opis słowny
test t Studenta dla jednej próby	$y=\beta _{0}+\epsilon$	Czy średnia (lub mediana) obserwacji jest ich dobrym predyktorem?
test Wilcoxona dla jednej próby	$\mathrm {ranga} _{-}^{+}(y)=\beta _{0}+\epsilon$
test t Studenta dla par obserwacji	$y_{2}-y_{1}=\beta _{0}+\epsilon$	Czy średnia (lub mediana) różnic obserwacji jest ich dobrym predyktorem?
test Wilcoxona dla par obserwacji	$\mathrm {ranga} _{-}^{+}(y_{2}-y_{1})=\beta _{0}+\epsilon$
korelacja r Pearsona	$y=\beta _{0}+\beta _{1}x+\epsilon$	Czy model liniowy jest dobrym predyktorem obserwacji (lub ich rang)?
korelacja Spearmana	$\mathrm {ranga} (y)=\beta _{0}+\beta _{1}\mathrm {ranga} (x)+\epsilon$
test $t$ Studenta dla dwóch prób	$y=\beta _{0}+\beta _{1}D+\epsilon$	Czy średnie grup są dobrym predyktorem obserwacji (lub ich rang)?
test Manna-Whitneya	$\mathrm {ranga} _{-}^{+}(y)=\beta _{0}+\beta _{1}D+\epsilon$
jednoczynnikowa ANOVA	$y=\beta _{0}+\beta _{1}D_{1}+\beta _{2}D_{2}+\ldots +\beta _{n}D_{n}+\epsilon$
test Kruskala-Wallisa	$\mathrm {ranga} _{-}^{+}(y)=\beta _{0}+\beta _{1}D_{1}+\beta _{2}D_{2}+\ldots +\beta _{n}D_{n}+\epsilon$
jednoczynnikowa ANCOVA	$y=\beta _{0}+\beta _{1}D_{1}+\beta _{2}D_{2}+\ldots +\beta _{n}D_{n}+\beta _{x}x+\epsilon$	Czy średnie grup oraz ich liniowy model są dobrym predyktorem obserwacji (lub ich rang)?
dwuczynnikowa ANOVA	${\begin{aligned}y=\beta _{0}&+\beta _{1}D_{1}+\beta _{2}D_{2}+\ldots +\beta _{n}D_{n}\\&+\beta _{o}E_{1}+\beta _{p}E_{2}+\ldots +\beta _{r}E_{m}\\&+\beta _{s}D_{1}E_{1}+\beta _{t}D_{1}E_{2}+\ldots +\beta _{u}D_{n}E_{m}+\epsilon \end{aligned}}$	Czy średnie grup oraz ich iloczynów są dobrym predyktorem obserwacji?