Dwójkowy system liczbowy

Dwójkowy system liczbowy lub też system binarny (NKB – naturalny kod binarny) – pozycyjny system liczbowy, którego podstawą jest liczba 2, a do zapisu liczb potrzebne są tylko dwie cyfry: 0 i 1.

Dwójkowy zegarek pokazujący godzinę 3:25

Historia

Używał go już John Napier w XVI wieku, przy czym 0 i 1 zapisywał jako a i b. Ojcem nowoczesnego systemu binarnego nazywany jest Gottfried Wilhelm Leibniz, autor opublikowanego w 1703 roku artykułu Explication de l’Arithmétique Binaire.

Zastosowanie

Jest używany w matematyce, informatyce i elektronice cyfrowej, gdzie minimalizacja liczby stanów do dwóch, pozwala na prostą implementację sprzętową odpowiadającą zazwyczaj stanom wyłączony i włączony oraz zminimalizowanie przekłamań danych.

Jak w każdym pozycyjnym systemie liczbowym, liczby zapisuje się tu jako ciągi cyfr, z których każda jest mnożną kolejnej potęgi podstawy systemu.

Np. liczba zapisana w dziesiętnym systemie liczbowym jako 10, w systemie dwójkowym przybiera postać 1010, gdyż:

$1\cdot 2^{3}+0\cdot 2^{2}+1\cdot 2^{1}+0\cdot 2^{0}=8+2=10.$

Liczby w systemach niedziesiętnych oznacza się czasami indeksem dolnym zapisanym w systemie dziesiętnym, a oznaczającym podstawę danego systemu. W celu podkreślenia, że liczba jest dziesiętna można również napisać obok niej indeks, np.

$10101_{2}=21_{10}$

W systemie dwójkowym można przedstawiać również liczby rzeczywiste. Na przykład liczby dziesiętne o podstawie 2 można zapisać jako:

$0{,}101_{2}=0\cdot 2^{0}+1\cdot 2^{-1}+0\cdot 2^{-2}+1\cdot 2^{-3}=0{,}625_{10}$

$0{,}00(1001)_{2}=0{,}15_{10}$

$0{,}28_{10}=0{,}(01000111101011100001)_{2}$

ułamek zwykły:

${\frac {101_{2}}{111_{2}}}={\frac {5_{10}}{7_{10}}}=0{,}(101)_{2}=0{,}(714285)_{10}$

(nawiasem oznaczono okres ułamka).

Liczby niewymierne mają rozwinięcie nieokresowe w każdym systemie pozycyjnym:

${\sqrt {2_{10}}}={\sqrt {10_{2}}}=1{,}0110101000001001111001100110011111110\dots _{2}$

Pierwsze dziesięć liczb w systemie dwójkowym

w systemie dziesiętnym	w systemie dwójkowym
1	1
2	10
3	11
4	100
5	101
6	110
7	111
8	1000
9	1001
10	1010

Zamiany systemu

Zamianę z systemu dwójkowego na inny można wykonać poprzez zapisanie liczby jako sumy potęg liczby 2 pomnożonych przez wartość cyfry w systemie, na który przekształcamy. Przykładowo przy zamianie liczby na system dziesiętny:

$11110_{2}=1\cdot 2^{4}+1\cdot 2^{3}+1\cdot 2^{2}+1\cdot 2^{1}+0\cdot 2^{0}=$
$=1\cdot 16+1\cdot 8+1\cdot 4+1\cdot 2+0\cdot 1=16+8+4+2=30$

Cyfra 1 podobnie jak w systemie dziesiętnym ma wartość zależną od swojej pozycji – na końcu oznacza 1, na drugiej pozycji od końca 2, na trzeciej 4, na czwartej 8 itd.

Ponieważ $0\cdot 2^{n}=0$ oraz $1\cdot 2^{n}=2^{n},$ aby obliczyć wartość liczby zapisanej dwójkowo, wystarczy zsumować potęgi dwójki odpowiadające cyfrom 1 w zapisie.

Zamiana liczby w systemie dziesiętnym na liczbę w systemie dwójkowym może przebiegać według wyżej opisanej zasady, czyli:

$30_{10}=(3\cdot 10+0\cdot 1)_{10}=(11\cdot 1010+0\cdot 1)_{2}=11110_{2}$

Rozbicie na sumę potęg liczby 2 na przykład

$30_{10}=(16+8+4+2+0)_{10}=(2^{4}+2^{3}+2^{2}+2^{1}+0)_{10}=(10000+1000+100+10+0)_{2}=11110_{2}$

Bądź też przez wyznaczanie reszt w wyniku kolejnych dzieleń liczby przez 2:

${\tfrac {30}{2}}=15$ reszty 0 – 0 to cyfra jedności,

${\tfrac {15}{2}}=7$ reszty 1 – 1 to cyfra drugiego rzędu,

${\tfrac {7}{2}}=3$ reszty 1,

${\tfrac {3}{2}}=1$ reszty 1,

${\tfrac {1}{2}}=0$ reszty 1.

Aby obliczyć wartość dwójkową liczby, przepisujemy od końca cyfry reszt. Tak więc $30_{10}=11110_{2}.$

Działania na liczbach w systemie dwójkowym

Działania na liczbach w systemie dwójkowym są odpowiednikiem działań w systemie dziesiętnym i opierają się na elementarnych działaniach:

• $1+0=1$
• $1+1=10$
• $1\cdot 0=0$
• $1\cdot 1=1$
• $10-1=1$

Przykład dodawania w systemie dwójkowym.

                  111111
                  1111111
              +     10011
                 10010010

Przykład odejmowania w systemie dwójkowym:

                  1111111
              -     10011
                  1101100

A w takiej sytuacji pożyczamy jedynkę:

                    11101
               -    10110
                    00111

(zera z lewej strony można wykreślić).

Mnożenie i dzielenie wykonuje się w systemie dwójkowym także podobnie jak w systemie dziesiętnym.

Zobacz też

• skośny system dwójkowy
• zegar binarny
• ósemkowy system liczbowy
• szesnastkowy system liczbowy
• dziesiętny system liczbowy

Pochodne kodowania liczb całkowitych:

• kod uzupełnieniowy
  • kod uzupełnień do jedności
  • kod uzupełnień do dwóch
• kod znak-moduł

Linki zewnętrzne

• José Américo N L F de Freitas, How exactly does binary code work? (ang.), kanał TED-Ed na YouTube, 12 lipca 2018 [dostęp 2024-08-29].