Uzwarcenie Čecha-Stone’a

Uzwarcenie Čecha-Stone’a – maksymalne (w pewnym, zdefiniowanym niżej sensie) uzwarcenie przestrzeni całkowicie regularnej spełniającej aksjomat oddzielania $T_{1}$ . Badania nad tego rodzaju uzwarceniami zostały zainicjowane (z odmiennych punktów widzenia) niezależnie przez czeskiego matematyka Eduarda Čecha^[1] i amerykańskiego matematyka Marshalla H. Stone’a^[2] w 1937.

Określenie i konstrukcja

Andriej Tichonow udowodnił, że każda całkowicie regularna przestrzeń typu $T_{1}$ wagi $\kappa$ jest homeomorficzna z podzbiorem kostki Tichonowa $[0,1]^{\kappa }.$ Z twierdzenia tego można wyprowadzić, że przestrzeń topologiczna ma uzwarcenie (będące przestrzenią Hausdorffa) wtedy i tylko wtedy, gdy jest przestrzenią tego rodzaju.

Jeżeli $(Y_{1},e_{1})$ i $(Y_{2},e_{2})$ są uzwarceniami danej przestrzeni $X,$ to można zdefiniować między nimi relację

(Y_{1},e_{1})\sqsubseteq (Y_{2},e_{2})

wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taka funkcja ciągła

f\colon Y_{2}\to Y_{1}

spełniająca warunek

f\circ e_{2}=e_{1}.

Ponadto, jeżeli

(Y_{1},e_{1})\sqsubseteq (Y_{2},e_{2})

oraz

(Y_{2},e_{2})\sqsubseteq (Y_{1},e_{1}),

to istnieje homeomorfizm $h\colon Y_{1}\to Y_{2}$ spełniający warunek

h\circ e_{1}=e_{2}.

Rodzina wszystkich uzwarceniń Hausdorffa przestrzeni $X$ jest klasą właściwą. Relacja $\sqsubseteq$ pozwala ograniczyć się wyłącznie do klas abstrakcji tej relacji – zabieg ten nie gwarantuje jednak, że klasy abstrakcji będą zbiorami. Z drugiej strony, $X$ jest z określenia gęstą podprzestrzenią swojego uzwarcenia, a więc waga każdego z uzwarceń nie przekracza liczby $\lambda =2^{d(X)},$ gdzie $d(X)$ oznacza gęstość przestrzeni $X.$ Spostrzeżenie to pozwala utożsamiać każde uzwarcenie przestrzeni $X$ z podzbiorem kostki Tichonowa $[0,1]^{\lambda },$ co pozwala już rozważać zbiór ${\mathcal {R}}(X)$ (a nie klasę właściwą) wszystkich (typów) uzwarceń przestrzeni $X.$

Twierdzenie o przekątnej gwarantuje, że każdy niepusty podzbiór ${\mathcal {R}}(X)$ ma element maksymalny, a więc w szczególności, że w ${\mathcal {R}}(X)$ istnieje element największy – element ten oznaczany jest symbolem $\beta X$ i nazywany jest uzwarceniem Čecha-Stone’a przestrzeni $X.$

Własności

W literaturze topologicznej istnieje wiele równoważnych charakteryzacji uzwarcenia Čecha-Stone’a $\beta X$ przestrzeni $X.$ Następujące twierdzenie^[3] podaje kilka z nich.

Twierdzenie: Niech $(X,\tau )$ będzie całkowicie regularną przestrzenią topologiczną $T_{1}.$ Wówczas $X$ ma jedyne (z dokładnością do homeomorfizmu) uzwarcenie $\beta X,$ które ma następujące równoważne własności:

każde odwzorowanie ciągłe przestrzeni $X$ w zwartą przestrzeń $T_{2}$ może być przedłużone (jednoznacznie) na $\beta X,$
każde uzwarcenie przestrzeni $X$ jest ciągłym obrazem przestrzeni $\beta X$ przez odwzorowanie, które jest identycznością na $X,$
każda ograniczona funkcja ciągła $f\colon X\to \mathbb {R}$ ma przedłużenie ciągłe na $\beta X,$
jeśli $Z_{1},$ $Z_{2}$ są zbiorami punktów zerowych pewnych rzeczywistych funkcji ciągłych na $X,$ to

\mathrm {cl} _{\beta X}(Z_{1})\cap \mathrm {cl} _{\beta X}(Z_{2})=\mathrm {cl} _{\beta X}(Z_{1}\cap Z_{2}),

rozłączne zbiory punktów zerowych funkcji ciągłych z $X$ w $\mathbb {R}$ mają rozłączne domknięcia w $\beta X,$
każde dwa podzbiory $X$ oddzielalne przez funkcję ciągłą mają rozłączne domknięcia w $\beta X,$
każdy punkt w $\beta X$ jest granicą jedynego $z$ -ultrafiltru na $X.$

Konstrukcja $\beta X$

Powyżej, zdefiniowaliśmy uzwarcenie $\beta X$ w terminach abstrakcyjnych własności. Można jednak podać konstrukcję uzwarcenia spełniającego (równoważne) warunki definiujące $\beta X.$ Niech $C=C^{*}(X)$ będzie zbiorem wszystkich funkcji ciągłych z przestrzeni $X$ w odcinek domknięty $[0,1]$ i niech zbiór $[0,1]^{C}$ wszystkich funkcji z $C$ w $[0,1]$ będzie traktowany jako produkt różnych kopii odcinka $[0,1].$ Wyposażmy $[0,1]^{C}$ w topologię produktową i rozważmy odwzorowanie

e:X\longrightarrow [0,1]^{C}:x\mapsto (f(x))_{f\in C}.

Sprawdza się, że $e$ jest homeomorfizmem z $X$ na $e(X)$ (gdzie $e(X)$ jest rozważane z topologią podprzestrzeni przestrzeni $[0,1]^{C}$ ). Na mocy twierdzenia Tichonowa, przestrzeń $[0,1]^{C}$ jest zwarta. Niech $K$ będzie domknięciem $e(X)$ w $[0,1]^{C}.$ Wówczas $(e,K)$ jest uzwarceniem $T_{2}$ przestrzeni $X.$

Dla funkcji ciągłej $f\colon X\longrightarrow [0,1]$ rozważmy funkcję $f^{*}\colon K\longrightarrow [0,1]$ daną przez warunek $f^{*}(k)=k(f).$ Można łatwo zweryfikować, że $f^{*}$ jest funkcją ciągłą oraz $f^{*}(e(x))=f(x)$ dla $x\in X.$ Bezpośrednio stąd możemy wywnioskować, że $K$ spełnia trzeci warunek twierdzenia sformułowanego w poprzedniej sekcji.

Uzwarcenie $\beta \mathbb {N}$ przestrzeni liczb naturalnych

Wśród uzwarceń maksymalnych przestrzeni topologicznych, chyba najbardziej zbadanym jest uzwarcenie $\beta \mathbb {N}$ przestrzeni liczb naturalnych wyposażonej w topologię dyskretną. $\beta \mathbb {N}$ jest obiektem badanym także w teorii mnogości, gdzie duże znaczenie ma reprezentacja tej przestrzeni jako przestrzeni ultrafiltrów (filtrów maksymalnych) podzbiorów $\mathbb {N} .$

Niech $\beta \mathbb {N}$ będzie zbiorem wszystkich ultrafiltrów na $\mathbb {N} .$ Dla zbioru $A\subseteq \mathbb {N}$ niech

U_{A}=\{F\in \beta \mathbb {N} \colon A\in F\}.

Wówczas rodzina

\{U_{A}\colon A\subseteq \mathbb {N} \}

jest bazą pewnej topologii $\tau _{\beta \mathbb {N} }$ na $\beta \mathbb {N} .$ Przestrzeń topologiczna $(\beta \mathbb {N} ,\tau _{\beta \mathbb {N} })$ jest zwartą przestrzenią $T_{2}$ a funkcja

e\colon \mathbb {N} \longrightarrow \beta \mathbb {N}

odwzorowująca liczbę $n\in \mathbb {N}$ na ultrafiltr główny generowany przez $\{n\}$ jest zanurzeniem homeomorficznym, którego obraz jest gęsty w $\beta \mathbb {N} .$ Zatem $(\beta \mathbb {N} ,e)$ jest uzwarceniem przestrzeni $\mathbb {N}$ i można sprawdzić, że spełnia ono warunek 6 z twierdzenia podanego w drugiej sekcji. Zatem jest to uzwarcenie Čecha-Stone’a.

Przykładowe własności $\beta \mathbb {N} {:}$

Przestrzeń $\beta \mathbb {N}$ jest ośrodkowa i minimalna moc bazy tej przestrzeni wynosi $2^{\aleph _{0}}$ (istnieje przy tym baza mocy $2^{\aleph _{0}}$ złożona ze zbiorów otwarto-domkniętych).
$\beta \mathbb {N}$ jest ekstremalnie niespójna (a więc także zerowymiarowa). Punkt należący do $\beta \mathbb {N}$ jest izolowany wtedy i tylko wtedy, gdy odpowiada ultrafiltrowi głównemu generowanemu przez pewną liczbą naturalną.
$\beta \mathbb {N}$ jest mocy $2^{2^{\aleph _{0}}}.$
Jeśli $p\in \beta \mathbb {N} \setminus \mathbb {N} ,$ to $\{p\}$ nie jest zbiorem typu G_δ.
Jeśli CH jest prawdziwa i $p\in \beta \mathbb {N} \setminus \mathbb {N} ,$ to $(\beta \mathbb {N} \setminus \mathbb {N} )\setminus \{p\}$ nie jest przestrzenią normalną.
Każda zwarta przestrzeń Hausdorffa mająca bazę mocy $\leqslant \aleph _{1}$ jest ciągłym obrazem $\beta \mathbb {N} \setminus \mathbb {N} .$
$\beta \mathbb {N} \setminus \mathbb {N}$ zawiera kopie homeomorficzne przestrzeni $\beta \mathbb {N}$ (jednak żadna taka kopia nie jest podzbiorem domknięto-otwartym $\beta \mathbb {N} \setminus \mathbb {N}$ ).
Przestrzeń Banacha $C(\beta \mathbb {N} \setminus \mathbb {N} )$ jest izometrycznie izomorficzna z przestrzenią $\ell _{\infty }/c_{0}$ (a nawet przestrzenie te są *-izomorficzne jako C*-algebry).

Zobacz też

Przypisy

↑ Eduard Čech, On bicompact spaces, „Ann. of Math.” (2) 38 (1937), no. 4, s. 823–844.
↑ Marshall H. Stone, Applications of the theory of Boolean rings to general topology, „Transactions of the American Mathematical Society” 41 (1937), no. 3, s. 375–481.
↑ Russell C. Walker, The Stone-Čech compactification, „Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete”, Band 83. Springer-Verlag, New York-Berlin, 1974. x+332 pp, strona 25. ISBN 0-387-06699-3.

[1] Eduard Čech, On bicompact spaces, „Ann. of Math.” (2) 38 (1937), no. 4, s. 823–844.

[2] Marshall H. Stone, Applications of the theory of Boolean rings to general topology, „Transactions of the American Mathematical Society” 41 (1937), no. 3, s. 375–481.

[3] Russell C. Walker, The Stone-Čech compactification, „Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete”, Band 83. Springer-Verlag, New York-Berlin, 1974. x+332 pp, strona 25. ISBN 0-387-06699-3.

[1]

[2]

[3]