Wektor jednostkowy

Wersor – wektor o długości jeden, wskazujący kierunek i zwrot pewnego wektora początkowego, któremu ten wersor się przypisuje. Mnożenie wersora przez długość początkowego wektora odtwarza początkowy wektor.

Definicja formalna

Niech $(X,\|\cdot \|)$ będzie przestrzenią unormowaną. Wersorem $x^{\circ }$ niezerowego wektora $x\in X$ nazywamy wektor

$x^{\circ }={\frac {x}{\|x\|}}.$

Oczywiście $x^{\circ }\in \operatorname {lin} (x)$ oraz $\|x^{\circ }\|=1.$

W przestrzeniach współrzędnych wersor danego wektora zachowuje jego kierunek oraz zwrot.

Wersor osi

Wersorem osi nazywamy wektor długości (normie) 1 o kierunku i zwrocie zgodnym z pewną dodatnią półosią prostokątnego układu współrzędnych. Dla osi $OX,OY,OZ$ oznacza się je tradycyjnie na kilka sposobów:

• symbolami $i,j,k,$
• $e_{1},e_{2},e_{3},$
• $e_{x},e_{y},e_{z},$
• $\varepsilon _{1},\varepsilon _{2},\varepsilon _{3}.$

Przykłady

• W przestrzeni euklidesowej $\mathbb {R} ^{3}$ ze zwykłym iloczynem skalarnym wersorem wektora $\mathbf {x} =\left[{\begin{smallmatrix}2\\3\\4\end{smallmatrix}}\right]$ jest wektor $\mathbf {x} ^{\circ }={\frac {1}{\sqrt {2^{2}+3^{2}+4^{2}}}}\left[{\begin{smallmatrix}2\\3\\4\end{smallmatrix}}\right]=\left[{\begin{smallmatrix}{\frac {2}{\sqrt {29}}}\\{\frac {3}{\sqrt {29}}}\\{\frac {4}{\sqrt {29}}}\end{smallmatrix}}\right].$
• W przestrzeni $\mathbb {R} _{2}[X]$ (tj. przestrzeni wielomianów stopnia nie większego niż 2 zmiennej rzeczywistej) z iloczynem skalarnym $\langle f,g\rangle =\int \limits _{-1}^{1}f(x)g(x)dx$ i normą $\|f\|={\sqrt {\langle f,f\rangle }}$ wersorem wektora $f(X)=X^{2}+X+1$ jest wektor

$f^{\circ }(X)={\frac {X^{2}+X+1}{\sqrt {\int \limits _{-1}^{1}(X^{2}+X+1)(X^{2}+X+1)dX}}}={\frac {X^{2}+X+1}{\sqrt {\tfrac {22}{5}}}}={\sqrt {\tfrac {5}{22}}}X^{2}+{\sqrt {\tfrac {5}{22}}}X+{\sqrt {\tfrac {5}{22}}}.$

Zobacz też

• ortogonalizacja Grama-Schmidta
• tensor

Uwagi

• Baza ortogonalna złożona z wersorów jest bazą ortonormalną.
• W fizyce zamiast $x^{\circ }$ stosuje się zapis ${\vec {e}}_{x}$ lub ${\hat {x}}.$

Linki zewnętrzne

• Piotr Stachura, Wektory jednostkowe, kanał Khan Academy na YouTube, 23 sierpnia 2016 [dostęp 2024-06-22].