Zbieżność według rozkładu

Zbieżność według rozkładu – jeden z rodzajów zbieżności wektorów losowych, nazywany czasem słabą zbieżnością.

Definicja

Niech $(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ będzie przestrzenią probabilistyczną oraz niech $F_{\xi }$ oznacza dystrybuantę wektora losowego $\xi .$ Ciąg wektorów losowych $(\xi _{k})_{k\in \mathbb {N} }$ jest zbieżny według rozkładu do wektora losowego $\xi ,$ jeżeli ciąg dystrybuant $(F_{\xi _{k}})_{k\in \mathbb {N} }$ jest słabo zbieżny do dystrybuanty $F_{\xi }.$ Wektor losowy $\xi$ nazywa się wówczas granicą ciągu wektorów losowych $(\xi _{k})_{k\in \mathbb {N} }$ w sensie zbieżności według rozkładu.

Uwagi

• Zdanie „ciąg $(\xi _{k})_{k\in \mathbb {N} }$ jest zbieżny według rozkładu do $\xi$”, używając symboliki matematycznej, zapisuje się krótko:

$\xi _{k}{\xrightarrow[{k\to \infty }]{F}}\xi .$

• Granica w sensie zbieżności według rozkładu nie jest wyznaczona jednoznacznie (prawie na pewno). Wynika to stąd, iż jeśli $\xi _{k}{\xrightarrow[{k\to \infty }]{F}}\xi$ to dowolny wektor losowy o rozkładzie identycznym z rozkładem wektora $\xi$ jest granicą ciągu $(\xi _{k})_{k\in \mathbb {N} }$ w sensie zbieżności według rozkładu.

Twierdzenie Craméra-Wolda

Twierdzenie Craméra-Wolda sprowadza zbieżność według rozkładu wektorów losowych do zbieżności według rozkładu zmiennych losowych.

Przykład

Na przestrzeni probabilistycznej $([0,1],{\mathcal {B}}([0,1]),P),$ gdzie $P$ jest jednowymiarową miarą Lebesgue’a określoną na σ-ciele ${\mathcal {B}}([0,1])$ borelowskich podzbiorów przedziału $[0,1],$ określamy ciąg $(\xi _{k})_{k\in \mathbb {N} }$ zmiennych losowych, danych wzorami:

$\xi _{k}(\omega )=\left\{{\begin{array}{cl}0,&0\leqslant \omega \leqslant {\frac {k}{2k+1}}\\1,&{\frac {k}{2k+1}}<\omega \leqslant 1\end{array}}\right.,\,k\in \mathbb {N}$

Dystrybuanta $F_{\xi _{k}}\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ zmiennej losowej $\xi _{k}$ jest więc postaci:

$F_{\xi _{k}}(x)=\left\{{\begin{array}{cl}0,&x<0\\{\frac {k}{2k+1}},&0\leqslant x<1\\1,&x\geqslant 1\end{array}}\right.$

Ciąg dystrybuant $(F_{\xi _{k}})_{k\in \mathbb {N} }$ jest, przy $k\to \infty$ zbieżny do dystrybuanty $F(x)$ danej wzorem:

$F(x)=\left\{{\begin{array}{cl}0,&x\leqslant 0\\{\frac {1}{2}},&0<x\leqslant 1\\1,&x>1\end{array}}\right.$

w każdym punkcie $x$ będącym punktem ciągłości dystrybuanty $F.$ Ciąg $(F_{\xi _{k}})_{k\in \mathbb {N} }$ jest wobec tego słabo zbieżny do dystrybuanty $F.$

Zgodnie z uwagą, granicą ciągu zmiennych $(\xi _{k})_{k\in \mathbb {N} }$ w sensie zbieżności według rozkładu jest zarówno zmienna losowa $\eta (\omega )$ dana wzorem:

$\eta (\omega )=\left\{{\begin{array}{cl}0,&0\leqslant \omega <{\frac {1}{2}}\\1,&{\frac {1}{2}}\leqslant \omega \leqslant 1\end{array}}\right.$

jak również zmienna losowa $\gamma (\omega )$ dana wzorem:

$\gamma (\omega )=\left\{{\begin{array}{cl}1,&0\leqslant \omega <{\frac {1}{2}}\\0,&{\frac {1}{2}}\leqslant \omega \leqslant 1\end{array}}\right.$

Reasumując:

$\xi _{k}{\xrightarrow[{k\to \infty }]{F}}\eta$ oraz $\xi _{k}{\xrightarrow[{k\to \infty }]{F}}\gamma .$

Bibliografia

• Andrzej Pacut: Prawdopodobieństwo. Teoria, modelowanie probabilistyczne w technice. Warszawa: Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 1985, s. 484–488. ISBN 83-204-0524-6.
• Jarosław Bartoszewicz: Wykłady ze statystyki matematycznej. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1989, s. 53. ISBN 83-01-09054-5.