Ekscentryczność (fizyka)

Ekscentryczność (inaczej mimośród) – wielkość charakteryzująca kształt orbity, opisywanej równaniem parametrycznym krzywej stożkowej. Oznacza się ją symbolem $e.$ Najczęściej używana przy opisie toru ruchu ciała obiegającego drugie ciało pod wpływem siły grawitacji. W ogólności tor ruchu jest taki sam w polu każdej siły centralnej proporcjonalnej do odwrotności kwadratu odległości od centrum ($1/r^{2};$ w szczególności siły elektrostatycznej).

Orbity keplerowskie: eliptyczna orbita o mimośrodzie 0,7 (czerwona), orbita paraboliczna (zielona) i hiperboliczna o mimośrodzie 1,3

Ekscentryczność orbity w polu siły grawitacji jest związana z energią całkowitą układu oddziałujących mas oraz z wartością całkowitego momentu pędu poprzez wzór:

$e={\sqrt {1+{\frac {2EL^{2}}{\mu \alpha ^{2}}}}},$

gdzie:

$E$ – energia całkowita,

$L$ – całkowity moment pędu.

Obie wielkości związane z ruchem względnym dwóch ciał (tzn. liczone w układzie odniesienia związanym z jedną z mas). Dla przyciągającej siły grawitacyjnej $\alpha =Gm_{1}m_{2},$ natomiast $\mu :{\frac {1}{\mu }}={\frac {1}{m_{1}}}+{\frac {1}{m_{2}}}$ określa tzw. masę zredukowaną układu dwóch ciał.

W zależności od energii $E$ (przyjmuje się, że w nieskończoności energia potencjalna oddziaływania jest równa zeru) wówczas:

• $E=-{\frac {\mu \alpha ^{2}}{2L^{2}}}$ – orbita kołowa, tzn. $e=0,$
• $E<0$ – orbita eliptyczna, tzn. $0<e<1,$
• $E=0$ – orbita paraboliczna, tzn. $e=1,$
• $E>0$ – orbita hiperboliczna, tzn. $e>1.$

Mimośród geometrycznie można określić też wzorem:

$e={\sqrt {1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}},$

gdzie:

$b$ – półoś mała orbity,

$a$ – półoś wielka orbity,

przy czym:

$a={\frac {p}{1-e^{2}}}={\frac {\alpha }{2|E|}},$

$b={\frac {p}{\sqrt {1-e^{2}}}}={\frac {L}{\sqrt {2\mu |E|}}},$

gdzie:

$p={\frac {L^{2}}{\mu \alpha }}={\frac {b^{2}}{a}}.$

Można również ekscentryczność wyrazić jako iloraz odległości ogniska od środka elipsy przez długość półosi wielkiej orbity eliptycznej:

$e={\frac {c}{a}}.$