Hipersfera

Hipersfera (gr. υπερ hyper „nad, ponad” i σφαῖρα sphaîra „kula, piłka”) – uogólnienie klasycznej sfery na dowolną liczbę wymiarów.

Siatka rozpięta na hipersferze dwuwymiarowej w rzucie ortogonalnym

Rzut na płaszczyznę siatki rozpiętej na hipersferze trójwymiarowej

Definicja formalna

Dla dowolnej liczby naturalnej $n,$ hipersfera o promieniu $r$ jest zdefiniowana jako zbiór punktów w przestrzeni euklidesowej $(n+1)$-wymiarowej, które znajdują się w odległości $r$ od wybranego punktu środkowego $c,$ gdzie $r$ jest dowolną dodatnią liczbą rzeczywistą, a $c$ to dowolnie wybrany punkt w przestrzeni $(n+1)$-wymiarowej:

$S^{n}=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n+1}:\|x-c\|=r\right\}.$

Jest to $n$-wymiarowa rozmaitość w $(n+1)$-wymiarowej przestrzeni euklidesowej. W szczególności:

• hipersfera 0-wymiarowa $S^{0}$ to para punktów na końcach odcinka,
• hipersfera 1-wymiarowa $S^{1}$ to okrąg na płaszczyźnie,
• hipersfera 2-wymiarowa $S^{2}$ to klasyczna sfera w przestrzeni 3-wymiarowej, powierzchnia klasycznej kuli,
• hipersfera 3-wymiarowa $S^{3}$ to sfera w 4-wymiarowej przestrzeni euklidesowej.

Hipersferę o promieniu jednostkowym i środku umieszczonym w początku układu współrzędnych nazywa się sferą jednostkową i oznacza $S^{n}$. Sfera $n$-wymiarowa stanowi brzeg kuli $(n+1)$-wymiarowej. Dla $n\geqslant 2$ hipersfery są rozmaitościami jednospójnymi o stałej dodatniej krzywiźnie.

Współrzędne

Zbiór punktów w przestrzeni $(n+1)$-wymiarowej $(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n+1}),$ który tworzy hipersferę, opisuje równanie

$r^{2}=\sum _{i=1}^{n+1}(x_{i}-c_{i})^{2},$

gdzie:

$c$ – punkt środkowy,

$r$ – promień.

Hiperkula

Przestrzeń ograniczoną przez hipersferę nazywa się $(n+1)$-wymiarową hiperkulą. Hiperkula jest domknięta, jeśli zawiera hipersferę, lub otwarta, jeśli jej nie zawiera. W szczególności:

• hiperkula 1-wymiarowa to odcinek,
• hiperkula 2-wymiarowa to koło,
• hiperkula 3-wymiarowa to kula.

Rozmiar

Objętość wnętrza

Ogólny wzór na objętość, a ściślej miara Lebesgue’a obszaru ograniczanego przez hipersferę $(n-1)$-wymiarową o promieniu $R,$ który jest hiperkulą $n$-wymiarową, ma postać:

$V_{n}(R)=C_{n}R^{n},$

gdzie $C_{n}$ jest stałym współczynnikiem proporcjonalności zależnym od wymiaru przestrzeni i wynosi

$C_{n}={\frac {\pi ^{\frac {n}{2}}}{\Gamma ({\frac {n}{2}}+1)}},$

w którym $\Gamma$ to funkcja Γ.

Wzór na współczynnik $C_{n}$ upraszcza się, gdy rozpatruje się oddzielnie wymiary stopni parzystych

$C_{2k}={\frac {\pi ^{k}}{k!}}$

i nieparzystych

$C_{2k+1}={\frac {2^{k+1}\pi ^{k}}{1\cdot 3\cdot \ldots \cdot (2k+1)}}={\frac {2^{k+1}\pi ^{k}}{(2k+1)!!}}.$

Zestawienie wartości współczynników $C_{n}$

Wymiar n	Współczynnik $C_{n}$	Dziesiętne przybliżenie	Klasyczna interpretacja
0	$1$	1,00000	punkt
1	$2$	2,00000	długość odcinka
2	$\pi$	3,14159	pole koła
3	${\frac {4}{3}}\pi$	4,18879	objętość kuli
4	${\frac {1}{2}}\pi ^{2}$	4,93480
5	${\frac {8}{15}}\pi ^{2}$	5,26379
6	${\frac {1}{6}}\pi ^{3}$	5,16771
7	${\frac {16}{105}}\pi ^{3}$	4,72478
8	${\frac {1}{24}}\pi ^{4}$	4,05871

Rozmiar obszaru ograniczonego hipersferą jednostkową jest największy w przestrzeni 5-wymiarowej. W przestrzeniach o liczbie wymiarów $n>5$ rozmiar zaczyna maleć, zmierzając do zera w nieskończoności

$\lim _{n\to \infty }V_{n}=0.$

Powierzchnia

Ogólny wzór na powierzchnię hipersfery $(n-1)$-wymiarowej można uzyskać, obliczając pochodną objętości hiperkuli $n$-wymiarowej względem promienia

$S_{n-1}(R)={\frac {d}{dR}}V_{n}(R)={\frac {d}{dR}}C_{n}R^{n}=nC_{n}R^{n-1}=C_{n-1}^{*}R^{n-1},$

gdzie $C_{n-1}^{*},$ podobnie jak dla objętości, jest stałym współczynnikiem proporcjonalności zależnym od wymiaru przestrzeni i wynosi

$C_{n-1}^{*}=nC_{n}={\frac {n\pi ^{\frac {n}{2}}}{\Gamma ({\frac {n}{2}}+1)}}={\begin{cases}\displaystyle 0&{\text{dla }}n=0,\\[2ex]\displaystyle {\frac {n\pi ^{\frac {n}{2}}}{{\frac {n}{2}}\Gamma ({\frac {n}{2}})}}={\frac {2\pi ^{\frac {n}{2}}}{\Gamma ({\frac {n}{2}})}}&{\text{dla }}n>0\end{cases}}$

Zestawienie wartości współczynników $C_{n-1}^{*}$

Wymiar n-1	Współczynnik $C_{n-1}^{*}$	Dziesiętne przybliżenie	Klasyczna interpretacja
–1	$0$	0,00000
0	$2$	2,00000	liczba punktów tworzących sferę
1	$2\pi$	6,28318	długość okręgu
2	$4\pi$	12,56637	powierzchnia kuli
3	$2\pi ^{2}$	19,73920
4	${\frac {8}{3}}\pi ^{2}$	26,31894
5	$\pi ^{3}$	31,00627
6	${\frac {16}{15}}\pi ^{3}$	33,07336
7	${\frac {1}{3}}\pi ^{4}$	32,46969

Wśród hipersfer jednostkowych największą powierzchnię ma hipersfera 6-wymiarowa (w przestrzeni 7-wymiarowej). Dla hipersfer o wymiarach $n>6$ ich rozmiar zaczyna maleć i zmierza do zera, gdy liczba wymiarów rośnie do nieskończoności

$\lim _{n\to \infty }S_{n}=0.$

Wymiary ułamkowe

Wzory na $S_{n}$ i $V_{n}$ można zastosować dla dowolnych liczb rzeczywistych $n\geqslant 0,$ w których istnieje uzasadnienie poszukiwania powierzchni sfery lub objętości kuli, gdy $n$ nie jest dodatnią liczbą całkowitą.

Obszar w przestrzeni $x$-wymiarowej jako funkcja ciągła $x$

Powierzchnia jednostkowej sfery $(x-1)$-wymiarowej

Objętość jednostkowej kuli $x$-wymiarowej

Współrzędne hipersferyczne

Analogicznie do współrzędnych sferycznych, w euklidesowej przestrzeni trójwymiarowej definiuje się system współrzędnych hipersferycznych dla dowolnej przestrzeni $n$-wymiarowej, w których składowymi są promień $r$ i $(n-1)$ współrzędnych kątowych $\phi _{1},\phi _{2},\dots ,\phi _{n-1},$ gdzie $\phi _{n-1}$ zawiera się w przedziale $[0,2\pi ),$ a pozostałe współrzędne kątowe w przedziale $[0,\pi ].$

Jeśli przez $x_{i}$ oznaczy się współrzędne kartezjańskie, to ich wartości można wyznaczyć jako:

$x_{1}=r\cos(\phi _{1}),$

$x_{2}=r\sin(\phi _{1})\cos(\phi _{2}),$

$x_{3}=r\sin(\phi _{1})\sin(\phi _{2})\cos(\phi _{3}),$

${}\,\,\,\vdots$

$x_{n-1}=r\sin(\phi _{1})\ldots \sin(\phi _{n-2})\cos(\phi _{n-1}),$

$x_{n}=r\sin(\phi _{1})\ldots \sin(\phi _{n-2})\sin(\phi _{n-1}).$

Zobacz też

• hipersześcian
• rozmaitość

Bibliografia

• KarolK. Gryszka KarolK., Anomalie kul i kostek, „Delta”, październik 2018 [dostęp 2018-11-25] .
• ZacharyZ. Treisman ZacharyZ., A young person’s guide to the Hopf fibration, „arXiv”, 9 sierpnia 2009, arXiv:0908.1205 .

Linki zewnętrzne

• Exploring Hyperspace with the Geometric Product (ang.)
• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Hypersphere, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.).