Lematy Borela-Cantellego [1] – lematy dotyczące ciągów zdarzeń losowych , wykorzystywane m.in. w dowodzie mocnej wersji prawa wielkich liczb .
Niech
A
1
,
A
2
,
A
3
,
…
{\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},\dots }
będzie nieskończonym ciągiem zdarzeń w danej przestrzeni probabilistycznej
(
Ω
,
F
,
P
)
.
{\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P).}
Pierwszy lemat Borela-Cantellego
edytuj
Jeśli szereg prawdopodobieństw zdarzeń
A
1
,
A
2
,
A
3
,
…
{\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},\dots }
jest zbieżny , tj.
∑
k
=
1
∞
P
(
A
k
)
<
+
∞
,
{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }P(A_{k})<+\infty ,}
wtedy prawdopodobieństwo zajścia nieskończenie wielu spośród zdarzeń
A
1
,
A
2
,
A
3
,
…
{\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},\dots }
wynosi 0, tj.
P
(
⋂
n
=
1
∞
⋃
k
=
n
∞
A
k
)
=
0.
{\displaystyle P\left(\bigcap _{n=1}^{\infty }\bigcup _{k=n}^{\infty }A_{k}\right)=0.}
Niech
A
:=
⋂
n
=
1
∞
B
n
,
B
n
:=
⋃
k
=
n
∞
A
k
,
B
n
+
1
⊆
B
n
.
{\displaystyle A:=\bigcap _{n=1}^{\infty }B_{n},\ B_{n}:=\bigcup _{k=n}^{\infty }A_{k},\ B_{n+1}\subseteq B_{n}.}
Korzystając z własności miary :
P
(
A
)
=
lim
n
→
∞
P
(
B
n
)
.
{\displaystyle P(A)=\lim _{n\to \infty }P(B_{n}).}
Również z własności miary otrzymujemy nierówność:
P
(
B
n
)
=
P
(
⋃
k
=
n
∞
A
k
)
⩽
∑
k
=
n
∞
P
(
A
k
)
(
⋆
)
.
{\displaystyle P(B_{n})=P\left(\bigcup _{k=n}^{\infty }A_{k}\right)\leqslant \sum \limits _{k=n}^{\infty }P(A_{k})\ \ (\star ).}
Niech
S
:=
∑
k
=
1
∞
P
(
A
k
)
,
S
n
−
1
:=
∑
k
=
1
n
−
1
P
(
A
k
)
.
{\displaystyle S:=\sum \limits _{k=1}^{\infty }P(A_{k}),\ S_{n-1}:=\sum \limits _{k=1}^{n-1}P(A_{k}).}
Z założenia
S
<
∞
,
{\displaystyle S<\infty ,}
więc szereg jest zbieżny.
Zauważmy, że:
∑
k
=
n
∞
P
(
A
k
)
=
S
−
S
n
−
1
.
{\displaystyle \sum \limits _{k=n}^{\infty }P(A_{k})=S-S_{n-1}.}
(
S
n
→
n
→
∞
S
)
⇒
(
S
−
S
n
−
1
→
n
→
∞
0
)
⇒
(
∑
k
=
n
∞
P
(
A
k
)
→
n
→
∞
0
)
.
{\displaystyle \left(S_{n}{\xrightarrow[{n\to \infty }]{}}S\right)\Rightarrow \left(S-S_{n-1}{\xrightarrow[{n\to \infty }]{}}0\right)\Rightarrow \left(\sum \limits _{k=n}^{\infty }P(A_{k}){\xrightarrow[{n\to \infty }]{}}0\right).}
Korzystając z
(
⋆
)
,
P
(
B
n
)
⩾
0
{\displaystyle (\star ),P(B_{n})\geqslant 0}
oraz twierdzenia o trzech ciągach :
(
0
⩽
P
(
B
n
)
⩽
∑
k
=
n
∞
P
(
A
k
)
)
⇒
(
P
(
B
n
)
→
n
→
∞
0
)
.
{\displaystyle \left(0\leqslant P(B_{n})\leqslant \sum \limits _{k=n}^{\infty }P(A_{k})\right)\Rightarrow \left(P(B_{n}){\xrightarrow[{n\to \infty }]{}}0\right).}
Kończy to dowód, bo:
P
(
⋂
n
=
1
∞
⋃
k
=
n
∞
A
k
)
=
P
(
A
)
=
lim
n
→
∞
P
(
B
n
)
=
0.
{\displaystyle P\left(\bigcap _{n=1}^{\infty }\bigcup _{k=n}^{\infty }A_{k}\right)=P(A)=\lim _{n\to \infty }P(B_{n})=0.}
Drugi lemat Borela-Cantellego
edytuj
Jeśli zdarzenia
A
i
{\displaystyle A_{i}}
są niezależne i szereg ich prawdopodobieństw jest rozbieżny , tj.
∑
k
=
1
∞
P
(
A
k
)
=
+
∞
,
{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }P(A_{k})=+\infty ,}
wtedy prawdopodobieństwo zajścia nieskończenie wielu spośród zdarzeń
A
1
,
A
2
,
A
3
,
…
{\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},\dots }
wynosi 1, tj.
P
(
⋂
n
=
1
∞
⋃
k
=
n
∞
A
k
)
=
1.
{\displaystyle P\left(\bigcap _{n=1}^{\infty }\bigcup _{k=n}^{\infty }A_{k}\right)=1.}
Niech
A
:=
⋂
n
=
1
∞
B
n
,
B
n
:=
⋃
k
=
n
∞
A
k
,
B
n
+
1
⊆
B
n
.
{\displaystyle A:=\bigcap _{n=1}^{\infty }B_{n},\ B_{n}:=\bigcup _{k=n}^{\infty }A_{k},\ B_{n+1}\subseteq B_{n}.}
Korzystając z własności miary :
P
(
A
)
=
lim
n
→
∞
P
(
B
n
)
.
{\displaystyle P(A)=\lim _{n\to \infty }P(B_{n}).}
Zapiszmy
B
n
{\displaystyle B_{n}}
w postaci:
B
n
=
⋃
m
=
n
∞
⋃
k
=
n
m
A
k
.
{\displaystyle B_{n}=\bigcup _{m=n}^{\infty }\bigcup _{k=n}^{m}A_{k}.}
Niech
C
m
,
n
:=
⋃
k
=
n
m
A
k
,
C
m
,
n
⊆
C
m
+
1
,
n
.
{\displaystyle C_{m,n}:=\bigcup _{k=n}^{m}A_{k},\ C_{m,n}\subseteq C_{m+1,n}.}
Korzystając ponownie z własności miary :
P
(
B
n
)
=
lim
m
→
∞
P
(
⋃
k
=
n
m
A
k
)
.
{\displaystyle P(B_{n})=\lim _{m\to \infty }P\left(\bigcup _{k=n}^{m}A_{k}\right).}
Zauważmy, że
⋃
k
=
n
m
A
k
=
Ω
−
⋂
k
=
n
m
A
k
′
,
{\displaystyle \bigcup _{k=n}^{m}A_{k}=\Omega -\bigcap _{k=n}^{m}A_{k}^{'},}
gdzie
A
k
′
=
Ω
−
A
k
{\displaystyle A_{k}^{'}=\Omega -A_{k}}
P
(
⋃
k
=
n
m
A
k
)
=
1
−
P
(
⋂
k
=
n
m
A
k
′
)
=
1
−
∏
k
=
n
m
P
(
A
k
′
)
=
1
−
∏
k
=
n
m
(
1
−
P
(
A
k
)
)
.
{\displaystyle P\left(\bigcup _{k=n}^{m}A_{k}\right)=1-P\left(\bigcap _{k=n}^{m}A_{k}^{'}\right)=1-\prod \limits _{k=n}^{m}P(A_{k}^{'})=1-\prod \limits _{k=n}^{m}(1-P(A_{k})).}
Aby zakończyć dowód wystarczy pokazać, że
∏
k
=
n
m
(
1
−
P
(
A
k
)
)
→
m
→
∞
0.
{\displaystyle \prod \limits _{k=n}^{m}(1-P(A_{k})){\xrightarrow[{m\to \infty }]{}}0.}
Zauważmy:
x
⩾
0
⇒
exp
[
−
x
]
⩾
1
−
x
(
⋆
)
{\displaystyle x\geqslant 0\Rightarrow \exp[-x]\geqslant 1-x\ (\star )}
0
⩽
∏
k
=
n
m
(
1
−
P
(
A
k
)
)
⩽
(
⋆
)
∏
k
=
n
m
exp
[
−
P
(
A
k
)
]
=
exp
[
−
∑
k
=
n
m
P
(
A
k
)
]
→
m
→
∞
0.
{\displaystyle 0\leqslant \prod \limits _{k=n}^{m}(1-P(A_{k}))\leqslant ^{(\star )}\prod \limits _{k=n}^{m}\exp[-P(A_{k})]=\exp \left[-\sum \limits _{k=n}^{m}P(A_{k})\right]{\xrightarrow[{m\to \infty }]{}}0.}
Więc z twierdzenia o trzech ciągach:
∏
k
=
n
m
(
1
−
P
(
A
k
)
)
→
m
→
∞
0.
{\displaystyle \prod \limits _{k=n}^{m}(1-P(A_{k})){\xrightarrow[{m\to \infty }]{}}0.}
I ostatecznie
(
P
(
B
n
)
=
lim
m
→
∞
P
(
⋃
k
=
n
m
A
k
)
=
1
)
⇒
(
P
(
⋂
n
=
1
∞
⋃
k
=
n
∞
A
k
)
=
P
(
A
)
=
lim
n
→
∞
P
(
B
n
)
=
1
)
.
{\displaystyle \left(P(B_{n})=\lim _{m\to \infty }P(\bigcup _{k=n}^{m}A_{k})=1\right)\Rightarrow \left(P(\bigcap _{n=1}^{\infty }\bigcup _{k=n}^{\infty }A_{k})=P(A)=\lim _{n\to \infty }P(B_{n})=1\right).}
Jeżeli zdarzenia
A
1
,
A
2
,
A
3
,
…
{\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},\dots }
są niezależne to dla zdarzenia
A
:=
⋂
n
=
1
∞
⋃
k
=
n
∞
A
k
{\displaystyle A:=\bigcap _{n=1}^{\infty }\bigcup _{k=n}^{\infty }A_{k}}
zachodzi warunek:
P
(
A
)
=
0
lub
P
(
A
)
=
1.
{\displaystyle P(A)=0\ {\text{ lub }}\ P(A)=1.}
Rozważmy nieskończone ciągi rzutów monetą symetryczną. Niech
A
k
{\displaystyle A_{k}}
oznacza zdarzenie polegające na tym, że
k
{\displaystyle k}
-ty,
k
+
1
{\displaystyle k+1}
i
k
+
2
{\displaystyle k+2}
rzuty dały odpowiednio orła, reszkę i orła. Oczywiście zdarzenia
A
1
,
A
2
,
A
3
,
…
,
A
n
,
…
{\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},\dots ,A_{n},\dots }
nie są niezależne, ale zdarzenia
A
1
,
A
4
,
A
7
,
…
,
A
3
n
+
1
,
…
{\displaystyle A_{1},A_{4},A_{7},\dots ,A_{3n+1},\dots }
są.
Każde zdarzenie
A
k
{\displaystyle A_{k}}
ma prawdopodobieństwo 1/8, więc szereg prawdopodobieństw tych zdarzeń jest rozbieżny. Z drugiego lematu Borela-Cantellego wnosimy więc, że z prawdopodobieństwem 1 sekwencja orzeł, reszka, orzeł wystąpi w niekończonym ciągu rzutów nieskończenie wiele razy.
↑ Nie Cantelliego, lecz Cantellego, zobacz poradnia językowa PWN – nie ma tego hasła w poradni, ale jest: Bernoulliego, a nie Bernoullego [1] .
Jacek Jakubowski, Rafał Sztencel: Wstęp do teorii prawdopodobieństwa . Wyd. II. Warszawa: SCRIPT, 2001. ISBN 83-904564-5-1 . Brak numerów stron w książce