Logarytm dyskretny

Logarytm dyskretny elementu $b$ przy podstawie $a$ w danej grupie skończonej – liczba całkowita $c,$ dla której zachodzi równość (w notacji multiplikatywnej):

$a^{c}=b.$

Logarytm dyskretny nie zawsze istnieje, a jeśli istnieje, może nie być jednoznaczny. Np. w ciele skończonym $\mathbb {Z} _{11}$ logarytmem przy podstawie 4 z elementu 9 jest liczba 3 (ale też 8). W tym ciele nie istnieje logarytm przy podstawie 4 z elementu 7.

Znalezienie logarytmu dyskretnego jest zaskakująco trudnym problemem. O ile potęgowanie wymaga $O\left(\log c\right)$ operacji – liczymy $a,a^{2},a^{4},a^{8},\dots ,$ po czym wymnażamy te z nich, dla których bity c są równe 1, to jedyną prostą metodą rozwiązywania problemu logarytmu dyskretnego jest przeszukanie wszystkich możliwych $c.$ Istnieją efektywniejsze metody, jednak żadna z ogólnych metod nie ma złożoności wielomianowej wobec ilości bitów wejścia (istnieją takie dla pewnych specyficznych klas liczb pierwszych, których należy więc w kryptografii unikać). Najszybszy algorytm (sito ciała liczbowego) obliczania logarytmu dyskretnego w GF(p) ma złożoność czasową:

$e^{c\cdot \log _{2}^{\frac {1}{3}}(p)\cdot \log _{2}^{\frac {2}{3}}\left(\log _{2}(p)\right)},$

gdzie c jest pewną stałą. Jedną z metod obliczania logarytmu dyskretnego w GF(p) jest redukcja Pohliga-Hellmana.

Trudność znalezienia logarytmu dyskretnego jest podstawą istnienia wielu algorytmów kryptograficznych, takich jak ElGamal i protokół Diffiego-Hellmana czy kryptografia oparta na krzywych eliptycznych.

Zobacz też

• schemat identyfikacji Schnorra

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Discrete Logarithm, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2024-02-02].
• Discrete logarithm (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-02-02].