Nakrycie

Nakrycie (nakrycie rzutowe) – funkcja ciągła $p$ z przestrzeni topologicznej $Y$ do przestrzeni topologicznej $X,$ taka że każdy punkt w $X$ ma otoczenie otwarte $U$ równomiernie pokryte na skutek działania funkcji $p$ (precyzyjna definicja jest podana niżej).

Nakrycie zbioru $X$ w otoczeniu $U\subset X$ można sobie wyobrażać jako rzutowanie duplikatów otoczenia $U$ zawartych w zbiorze $Y$ na otoczenie $U.$

Przestrzeń $Y$ nazywa się przestrzenią nakrywającą.

Przestrzeń $X$ nazywa się przestrzenią bazową (bazą).

Nakryciem uniwersalnym nazywamy nakrycie, którego przestrzeń nakrywająca $Y$ jest jednospójna.

Nakrycia pełnią ważną rolę w teorii homotopii, analizie harmonicznej, geometrii Riemanna i topologii różniczkowej.

Definicja formalna nakrycia

Nakrycie – ciągła surjekcja $p\colon Y\to X,$ taka że dla każdego $x\in X$ istnieje przestrzeń dyskretna $A$ oraz otoczenie $U\ni x,$ że przeciwobraz otoczenia $U$ w odwzorowaniu $p,$ tj. $p^{-1}(U),$ oraz $U\times A$ są homeomorficzne. Nakrycie jest lokalnym homeomorfizmem.

Definicja włókna

Włóknem nad punktem $x\in X$ nazywa się zbiór, który jest przeciwobrazem punktu $x$ dla odwzorowania $p,$ tj.

$Y_{x}=p^{-1}(x).$

Definicja krotności włókna

Moc $n=|Y_{x}|$ włókna nad punktem $x$ nazywa się krotnością nakrycia w punkcie $x.$ Krotność jest funkcją lokalnie stałą.

Definicja nakrycia n-krotnego

Gdy baza $X$ nakrycia jest przestrzenią spójną, krotność jest funkcją stałą, a nakrycie nazywane jest nakryciem n-krotnym.

Przykład

Rozpatrzmy okrąg jednostkowy $\mathbf {S} ^{1}\subset \mathbf {R} ^{2}.$ Odwzorowanie $p\colon \mathbf {R} \to \mathbf {S} ^{1},$ gdzie

$p(t)=(\cos t,\sin t)$

jest nakryciem, w którym każdy punkt $\mathbf {S} ^{1}$ ma włókno nieskończone. Odwzorowanie $p$ jest nakryciem uniwersalnym, gdyż przestrzeń pokrywająca $\mathbf {R}$ – zbiór liczb rzeczywistych – jest jednospójna.