Pełna grupa liniowa

Pełna grupa liniowa (ogólna grupa liniowa), GL(n, R) – grupa wszystkich odwracalnych macierzy kwadratowych stopnia $n$ nad danym pierścieniem $R,$ z mnożeniem macierzy jako działaniem określonym w grupie.

Definicja formalna

Pełną grupą liniową $\operatorname {GL} (n,R)$ nazywamy uporządkowaną czwórkę $\left(U_{n}(R),\cdot ,\ ^{-1},I\right),$ gdzie:

• $R$ jest pierścieniem łącznym z jedynką,
• $U_{n}(R)=\{A\ \in R_{n}^{n}\colon A{\text{ jest odwracalna}}\},$ – zbiór macierzy kwadratowych wymiaru n, odwracalnych,
• działaniem grupowym jest mnożenie macierzy,
• operacją brania elementu odwrotnego jest odwracanie macierzy
• elementem neutralnym jest macierz jednostkowa.

Dowolną podgrupę pełnej grupy liniowej nazywa się po prostu grupą liniową. Z punktu widzenia teorii kategorii operator $\operatorname {GL} (n,\cdot )$ jest funktorem z kategorii pierścieni w kategorię grup.

Przestrzenie liniowe

Jeżeli $V$ jest przestrzenią liniową nad ciałem $K,$ wówczas pełną grupą liniową przestrzeni liniowej oznaczaną przez $\operatorname {GL} (V)$ lub $\operatorname {Aut} (V)$ nazywamy grupę wszystkich automorfizmów $V,$ tzn. zbiór wszystkich wzajemnie jednoznacznych przekształceń liniowych $V\to V$ ze składaniem funkcji jako działaniem grupowym.

Jeżeli przestrzeń $V$ ma skończony wymiar $\dim V=n,$ to $\operatorname {GL} (V)$ oraz $\operatorname {GL} (n,K)$ są izomorficzne. Jednakże izomorfizm nie jest kanoniczny, gdyż zależy od wyboru bazy w $V.$ Jeżeli $(e_{1},\dots ,e_{n})$ jest bazą uporządkowaną $V,$ zaś $T$ automorfizmem $\operatorname {GL} (V),$ to mamy

$Te_{k}=\sum _{j=1}^{n}a_{jk}e_{j}$

dla pewnych stałych $a_{jk}\in K.$ Macierz odpowiadająca $T$ składa się po prostu z wyrazów $a_{jk}.$

Podobnie grupa $\operatorname {GL} (n,R)$ pierścienia $R$ może być interpretowana jako grupa automorfizmów wolnego $R$-modułu o randze $n.$

Wyznaczniki

Macierz jest odwracalna nad ciałem $K$ wtedy i tylko wtedy, gdy jej wyznacznik jest różny od zera. Stąd $\operatorname {GL} (n,K)$ może być zdefiniowana jako grupa macierzy o niezerowym wyznaczniku.

Definicja dla pierścienia przemiennego $R$ jest nieco subtelniejsza: macierz nad $R$ jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy jej wyznacznik jest elementem odwracalnym w $R,$ tzn. jej wyznacznik jest odwracalny w $R.$ Stąd $\operatorname {GL} (n,R)$ może być zdefiniowana jako grupa macierzy o wyznacznikach będących elementami odwracalnymi.

Rozważanie wyznaczników nad pierścieniem nieprzemiennym $R$ nie ma sensu. W tym przypadku grupa $\operatorname {GL} (n,R)$ może być zdefiniowana jako grupa elementów odwracalnych $M(n,R).$

Specjalna grupa liniowa SL(n, R)

Specjalną grupą liniową stopnia $n$ nad ciałem $K$ nazywamy grupę liniową zawierającą wszystkie macierze kwadratowe stopnia $n$ o elementach z ciała $K,$ których wyznacznik jest równy jedności. Specjalną grupę liniową oznacza się przez $\operatorname {SL} (n,K)$ lub $\operatorname {SL} _{n}(K).$

Własności

• Macierze te tworzą grupę, gdyż wyznacznik iloczynu dwóch macierzy jest równy iloczynowi ich wyznaczników (twierdzenie Cauchy’ego), zatem jest ona zamknięta ze względu na to działanie.
• Jeżeli $K=\mathbb {R}$ lub $K=\mathbb {C} ,$ to $\operatorname {SL} (n)$ jest grupą Liego wymiaru $n^{2}-1;$ grupa ta jest podgrupą grupy $\operatorname {GL} (n).$
• Algebra Liego $\operatorname {sl} (n)$ grupy $\operatorname {SL} (n)$ składa się ze wszystkich macierzy $K_{n}^{n}$ o zerowym śladzie; nawias Liego tej algebry jest zadany przez komutator macierzy.
• Specjalna grupa liniowa $\operatorname {SL} (n,\mathbb {R} )$ może być scharakteryzowana jako grupa przekształceń liniowych $\mathbb {R} ^{n}$ zachowujących objętość i orientację.

Rozmaitość algebraiczna

$\operatorname {GL} (n,K)$ może być rozważana jako otwarta podrozmaitość przestrzeni afinicznej wymiaru $n^{2}$ nad $K.$

Ciała skończone

Jeżeli $K$ jest ciałem skończonym o $q$ elementach, to zamiast $\operatorname {GL} (n,K)$ piszemy czasami $\operatorname {GL} (n,q).$ Jeżeli $p$ jest liczbą pierwszą, to $\operatorname {GL} (n,p)$ jest grupą automorfizmów zewnętrznych grupy $\mathbb {Z} _{p}^{n},$ a zarazem grupą automorfizmów, ponieważ $\mathbb {Z} _{p}^{n}$ jest abelowa, zatem grupa automorfizmów wewnętrznych jest trywialna.

Rząd grupy

Rząd grupy $\operatorname {GL} (n,K)$ wynosi

$|\operatorname {GL} (n,K)|=\prod _{i=0}^{n-1}\ (q^{n}-q^{i}).$

Można udowodnić ten fakt poprzez zliczanie możliwych kolumn macierzy: pierwsza może być dowolną poza wektorem zerowym, druga – dowolną z wyjątkiem wielokrotności pierwszej, wreszcie $k$-ta kolumna może być dowolnym wektorem spoza powłoki liniowej pierwszych $k-1$ kolumn.

Przykładowo $\operatorname {GL} (3,2)$ ma rząd równy $(8-1)(8-2)(8-4)=168.$ Jest to grupa automorfizmów płaszczyzny Fana oraz grupy $\mathbb {Z} _{2}^{3}.$

Ogólniej, można policzyć punkty grassmannianianu nad $K,$ innymi słowy: liczbę podprzestrzeni danego wymiaru $k.$ Wymaga to jedynie znalezienia rzędu podgrupy izotropii jednej z takiej podprzestrzeni oraz podzielenia powyższego wzoru na podstawie twierdzenia o stabilizatorze.

Związek między tymi wzorami a liczbami Bettiego grassmannianów zespolonych, był jednym z tropów prowadzących do hipotezy Weila.

Analogiczny wzór dla $\operatorname {SL} (n,K)$ to

$|\operatorname {SL} (n,K)|={\frac {1}{q-1}}\prod _{i=0}^{n-1}\ (q^{n}-q^{i}).$

Inne podgrupy

Podgrupy diagonalne

Zbiór wszystkich odwracalnych macierzy diagonalnych tworzy podgrupę grupy $\operatorname {GL} (n,K),$ nazywaną podgrupą diagonalną, izomorficzną z $\left(K^{*}\right)^{n}.$ W ciałach takich jak $\mathbb {R} ,$ czy $\mathbb {C}$ odpowiada ona skalowaniu przestrzeni; są to tzw. dylatacje i kontrakcje.

W szczególności, jeżeli wszystkie elementy na diagonali są równe, to macierz jest tzw. macierzą skalarną, będąca iloczynem stałej liczby oraz macierzy jednostkowej.

Grupy klasyczne

Tak zwane grupy klasyczne są podgrupami $\operatorname {GL} (V)$ zachowującymi pewien rodzaj formy dwuliniowej w przestrzeni liniowej $V.$ Są to między innymi

• grupa ortogonalna, ${\mathcal {O}}(V),$ zachowująca niezdegenerowaną symetryczną formę dwuliniową na $V,$
• grupa symplektyczna, $\operatorname {Sp} (V),$ zachowująca formę symplektyczną na $V$ (niezdegenerowaną antysymetryczną formę dwuliniową),
• grupa unitarna, $\operatorname {U} (V),$ zachowująca niezdegenerowaną formę hermitowską na $V,$ o ile $K=\mathbb {C} .$

Grupy te są ważnymi przykładami grup Liego.

Własności

• Jeśli $n>2,$ to $\operatorname {GL} (n,K)$ nie jest abelowa.
• $\operatorname {SL} (n,K)$ jest podgrupą normalną $\operatorname {GL} (n,K).$
• Niech $K^{*}$ będzie grupą multiplikatywną (złożoną z wszystkich elementów $K$ różnych od zera) ciała $K,$ wówczas wyznacznik jest homomorfizmem grup:

  $\det \colon \operatorname {GL} (n,K)\to K^{*}.$

• Z definicji jądra wynika, że jądrem $\det$ jest zbiór macierzy o wyznaczniku równym jedności, zatem $\ker \det =\operatorname {SL} (n,K).$
• Więcej, $\operatorname {GL} (n,K)$ jest produktem półprostym $\operatorname {SL} (n,K)\rtimes K^{*}.$
• Grupa $\operatorname {SL} (n,\mathbb {C} ),$ w przeciwieństwie do $\operatorname {SL} (n,\mathbb {R} ),$ jest jednospójna. Dodatkowo $\operatorname {SL} (n,\mathbb {R} )$ ma tę samą grupę podstawową co grupa addytywna $\operatorname {GL} ^{+}(n,\mathbb {R} ),$ czyli $\mathbb {Z}$ dla $n=2$ oraz $\mathbb {Z} _{2}$ dla $n>2.$
• Zbiór wszystkich niezerowych macierzy skalarnych jest podgrupą $\operatorname {GL} (n,K)$ izomorficzną z $K^{*}.$
• Grupa skalarna stanowi centrum $\operatorname {GL} (n,K),$ zatem jest ona normalna i przemienna.
• Centrum $\operatorname {SL} (n,K)$ to po prostu zbiór wszystkich macierzy z wyznacznikiem jednostkowym, podgrupa ta jest izomorficzna z grupą pierwiastków z jedynki $n$-tego stopnia w ciele $K.$

Podobne grupy

Projektywna grupa liniowa

Projektywna grupa liniowa $\operatorname {PGL} (n,K)$ oraz specjalna projektywna grupa liniowa $\operatorname {PSL} (n,K)$ są grupami ilorazowymi $\operatorname {GL} (n,K)$ oraz $\operatorname {SL} (n,K)$ przez ich centra (które składają się z pewnych wielokrotności macierzy jednostkowej).

Grupa afiniczna

Grupa afiniczna $\operatorname {Aff} (n,K)$ jest rozszerzeniem $\operatorname {GL} (n,F)$ o grupę przesunięć w $K^{n}.$ Zapisuje się ją jako produkt półprosty:

$\operatorname {Aff} (n,K)=\operatorname {GL} (n,K)\ltimes K^{n},$

gdzie $\operatorname {GL} (n,K)$ działa na $K^{n}$ w naturalny sposób. Grupa afiniczna może też być postrzegana jako grupa wszystkich przekształceń afinicznych przestrzeni afinicznej nad przestrzenią liniową $K^{n}.$

Zobacz też

Grupy

• grupa obrotów SO(2)
• grupa obrotów SO(n)
• grupa unitarna SU(2)
• grupa unitarna SU(n)

Inne pojęcia

• macierz odwracalna
• wyznacznik

Bibliografia

• H. Guściora, M. Sadowski, Repetytorium z algebry liniowej, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1979.