Procent składany

Procent składany – sposób oprocentowania wkładu pieniężnego polegający na tym, że odsetki za dany okres oprocentowania są doliczane do wkładu (podlegają kapitalizacji) i w ten sposób „składają się” na zysk wypracowywany w okresie następnym. Zastosowanie reguły procentu składanego daje szybszy wzrost wartości kapitału niż zastosowanie procentu prostego. Im częstsza kapitalizacja, tym kapitał wzrasta szybciej. Przypadek graniczny, w którym odstęp między kapitalizacjami maleje do zera, nosi nazwę kapitalizacji ciągłej.

Obliczanie procentu składanego

Oznaczenia

$V_{0}$ – kapitał początkowy^[1] zwany wartością bieżącą,
$V$ – kapitał końcowy, inaczej: kapitał po $n$ latach, wartość przyszła,
$m$ – liczba kapitalizacji w roku lub równoważnie liczba okresów oprocentowania w roku (np. jeśli kapitalizacja odsetek następuje co pół roku, przyjmujemy $m=2;$ jeśli kapitalizacja odsetek następuje co kwartał, przyjmujemy $m=4$ ),
$n$ – liczba lat do zapadalności depozytu. Zakładamy, że długość okresu do zapadalności jest wielokrotnością długości okresów oprocentowania,
$r$ – nominalna roczna stopa procentowa w postaci ułamka dziesiętnego (np. jeśli $r=5\%,$ to wstawić należy do poniższych wzorów ułamek dziesiętny $0{,}05$ ),
$e$ – liczba Eulera.

Kapitalizacja roczna

Kapitalizacja następuje tylko raz w roku, czyli $m=1{:}$ ^[2]

V=V_{0}\cdot \left(1+r\right)^{n}.

Kapitalizacja podokresowa

Kapitalizacja następuje częściej niż raz w roku, czyli $m>1{:}$

V=V_{0}\cdot \left(1+{\frac {r}{m}}\right)^{mn}.

Kapitalizacja roczna w warunkach inflacji

Kapitalizacja następuje raz w roku, przy inflacji rocznej i:

V=V_{0}\cdot \left(1+r'\right)^{n}\;\ \ r'={\frac {r-i}{1+i}}.

gdzie:

r'

– realna stopa procentowa.

Kapitalizacja ciągła

Kapitalizacja następuje nieskończenie wiele razy w roku, czyli m→∞:

V=\lim _{m\to \infty }V_{0}\left(1+{\frac {r}{m}}\right)^{mn}=V_{0}\left(\lim _{m\to \infty }\left(1+{\frac {r}{m}}\right)^{m}\right)^{n}=V_{0}\cdot e^{rn}

Zobacz też

Przypisy

↑ Witold Mizerski, Tablice matematyczne, Adamant, Warszawa 1999, ISBN 83-85655-38-7, s. 384.
↑ Wybrane wzory matematyczne, Warszawa: Centralna Komisja Egzaminacyjna, 2015, s. 3, ISBN 978-83-940902-1-0 .

Bibliografia

Maria Podgórska, Joanna Klimkowska, Matematyka finansowa. Warszawa: Wydawnictwo naukowe PWN, 2005.

[1] Witold Mizerski, Tablice matematyczne, Adamant, Warszawa 1999, ISBN 83-85655-38-7, s. 384.

[cke-2] Wybrane wzory matematyczne, Warszawa: Centralna Komisja Egzaminacyjna, 2015, s. 3, ISBN 978-83-940902-1-0 .

[1]

[2]