Przestrzeń jednospójna

Przestrzeń jednospójna – łukowo spójna przestrzeń topologiczna o trywialnej grupie podstawowej.

Sfera jest jednospójna, gdyż każda pętla może być ściągnieta do punktu tak, że podczas ściągania pętla jest stale zawarta w sferze.

Torus jest spójny, ale nie jest jednospójny, gdyż żadna z kolorowych pętli nie może być ściągnięta do punktu.

Innymi słowy jest to przestrzeń topologiczna $X$ spełniająca następujące warunkiː

1. dowolne dwa punkty można połączyć drogą ($X$ jest łukowo spójna),
2. dowolną taką krzywą można przekształcić w sposób ciągły, używając tylko punktów należących do tego obiektu, w dowolną inną krzywą łączącą te punkty (każde dwie drogi łączące $x\in X$ oraz $y\in X$ są homotopijne).

Zbiór jednospójny – to zbiór ze strukturą topologiczną, który potraktowany jako przestrzeń topologiczna jest przestrzenią jednospójną.

Twierdzenia

Tw. 1 Przestrzeń topologiczna jest jednospójna wtedy i tylko wtedy, gdy jest łukowo spójna i każdą zawartą w niej pętlę da się ściągnąć do punktu, przy czym podczas ściągania pętla musi być zawarta w przestrzeni.

Tw. 2 Przestrzeń topologiczna jest jednospójna wtedy i tylko wtedy, gdy jest łukowo spójna i posiada genus zero (tzn. nie ma otworów).

Zbiory z otworem lub otworami (np. torus, okrąg) nie są jednospójne właśnie ze względu na te otwory, które sprawiają, że np. równoleżnika w torusie nie można w sposób ciągły zmniejszyć do punktu.

Przykłady

Przestrzeń niejednospójna, ponieważ pętli okrążających dziury nie da się ściągnąć do punktu.

Obiekty jednospójne:

• W przestrzeni euklidesowej: odcinek, prosta, koło, kula, sfera $n$-wymiarowa $S^{n}$ dla $n\geqslant 2$ (np. sfera w przestrzeni trójwymiarowej).
• Przestrzeń Euklidesowa $\mathbb {R} ^{n}$.
• Gdy $n>2$, to $\mathbb {R} ^{n}$ bez dowolnej liczby punktów, np. bez punktu $(0,0)$.
• Każdy podzbiór wypukły zawarty w $\mathbb {R} ^{n}$.
• Każda przestrzeń wektorowa, w tym przestrzenie Banacha i Hilberta.
• Specjalna grupa unitarna SU($n$).

Wszystkie przestrzenie ściągalne są jednospójne (ponieważ każde dwa przekształcenia w przestrzeń ściągalną są homotopijne), jednak nie odwrotnie – na przykład sfera dwuwymiarowa jest jednospójna, ale nie jest ściągalna.

Obiekty niejednospójne:

• Okrąg, torus, butelka Kleina, walec eliptyczny, wstęga Möbiusa.
• Przestrzeń Euklidesowa $\mathbb {R} ^{2}$ bez np. punktu $(0,0)$.
• Dla $n\geqslant 2$, specjalna grupa ortogonalna SO($n,\mathbb {R}$).

Bibliografia

• Fritz Reinhardt, Heinrich Soeder: Atlas matematyki. Warszawa: Prószyński i S-ka, s. 243. ISBN 83-7469-189-1.
• Jerzy Mioduszewski: Wykłady z topologii – Topologia przestrzeni euklidesowych. Katowice: Wydawnictwo Uniwersytetu Śląskiego, 1994, s. 170. ISSN 0239-6432.

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Simply Connected, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2022-10-09].