Quasi-grupa

Quasi-grupa – grupoid z jednoznacznością rozwiązań równań liniowych (lewo- i prawostronnych). W przypadku skończonego nośnika oznacza to, że tablica Cayleya działania grupoidu jest kwadratem łacińskim. Równoważnie można żądać, by grupoid miał własność skracania (lewo- i prawostronną).

Interpretując działanie dwuargumentowe jako mnożenie grupoid można uważać za (niekoniecznie łączną) strukturę algebraiczną z mnożeniem i dzieleniem (lewo- i prawostronnym).

Quasi-grupa z elementem neutralnym to lupa lub pętla.

Definicja

Grupoid $G$ nazywa się quasi-grupą, jeśli dla dowolnych dwóch elementów $a$ i $b$ istnieją jednoznacznie wyznaczone rozwiązania równań:

$ax=b,$

$ya=b$.

Quasi-grupę $G$ można także określić za pomocą trzech operacji binarnych: $ab,a/b,a\backslash b$ (mnożenie, dzielenie prawostronne, dzielenie lewostronne) spełniających aksjomaty:

• dla dowolnych $a,b\in G$

  $(a/b)\ b=a,$

  $(ab)/b=a;$

• dla dowolnych $a,b\in G$

  $(a\backslash b)\ b=a,$

  $(ab)\backslash b=a$.

Uwagi

• Jednoznaczność rozwiązania równania

  $ax=b$ (odp. $ya=b$)

pociąga własność skracania, tj.

jeśli $ax=ay$ (odp. $xa=ya$), to $x=y$.

• Każda quasi-grupa jest quasi-grupą współrzędnych pewnej sieci.

Zobacz też

• quasi-grupa współrzędnych sieci
• sieć (geometria)

Bibliografia

• Aleksander Kurosz: Algebra ogólna. Wykłady z lat 1969–1970. Moskwa: Nauka, 1974. (ros.).
• Garret Birkhoff: Lattice Theory. Moskwa: Nauka, 1984. (ros.).

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Quasigroup, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2024-03-25].
• Quasi-group (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-03-25].
• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Algebraic Loop, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2024-03-25].
• Loop (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-03-25].