Ten artykuł należy dopracować:
Symbol Leviego-Civity (symbol zupełnie antysymetryczny ) jest antysymetrycznym symbolem podobnym do delty Kroneckera , który jest zdefiniowany jako:
Wartości symbolu Leviego-Civity w prawoskrętnym układzie współrzędnych.
Wizualizacja symbolu Leviego-Civity jako trzech macierzy 3×3.
Wizualizacja symbolu Leviego-Civity dla lewoskrętnego układu współrzędnych (pusty sześcian odpowiada liczbie 0, niebieski liczbie -1 i czerwony liczbie 1).
ϵ
i
j
k
=
{
0
gdy
i
=
j
lub
j
=
k
lub
k
=
i
1
gdy
i
j
k
to permutacja (i,j,k) parzysta, np.
(
1
,
2
,
3
)
−
1
gdy
i
j
k
to permutacja (i,j,k) nieparzysta, np.
(
3
,
2
,
1
)
{\displaystyle \epsilon _{ijk}={\begin{cases}0&{\mbox{gdy }}i=j{\mbox{ lub }}j=k{\mbox{ lub }}k=i\\[2pt]1&{\mbox{gdy }}ijk{\mbox{ to permutacja (i,j,k) parzysta, np. }}(1,2,3)\\[2pt]-1&{\mbox{gdy }}ijk{\mbox{ to permutacja (i,j,k) nieparzysta, np. }}(3,2,1)\end{cases}}}
(1)
Symbol ten został nazwany na cześć matematyka włoskiego Tullia Leviego-Civity . Wartym wspomnienia jest fakt, iż w rachunku tensorowym stosuje się również „epsilony” z większą liczbą indeksów.
Symbol może zostać zastosowany do zapisu iloczynu wektorowego w konwencji Einsteina:
c
→
=
a
→
×
b
→
=
e
→
i
ϵ
i
j
k
a
j
b
k
{\displaystyle {\vec {c}}={\vec {a}}\times {\vec {b}}={\vec {e}}_{i}\epsilon _{ijk}a_{j}b_{k}}
(2)
W notacji tensorowej w tej samej konwencji co poprzednio mamy natomiast:
c
→
=
a
→
×
b
→
=
a
j
e
→
j
×
b
k
e
→
k
=
e
→
i
ϵ
i
j
k
a
j
b
k
{\displaystyle {\vec {c}}={\vec {a}}\times {\vec {b}}=a^{j}{\vec {e}}_{j}\times b^{k}{\vec {e}}_{k}={\vec {e}}^{i}\epsilon _{ijk}a^{j}b^{k}}
(3)
gdzie
e
→
i
{\displaystyle {\vec {e}}^{i}}
jest
i
{\displaystyle i}
-tym wektorem bazy kontrawariantej.
Symbol ten jest pomocny przy wyprowadzaniu skomplikowanych wzorów z operatorem nabla i umożliwia uniknięcie rozpisywania wszystkiego na pochodne cząstkowe, przykładowo w układzie kartezjańskim symbol Leviego-Civity jest wielkością stałą, którego wartość jest zależna od trzech indeksów według przedstawienia (1) .
Związek symboli Leviego-Civity z symbolami Kroneckera
edytuj
Niech mamy podwójny iloczyn wektorowy napisanej jako wzór w punkcie (podwójny iloczyn wektorowy-8) i zdefiniujmy wektory bazy kartezjańskiej prostokątnego układu współrzędnych wedle następującego sposobu:
e
→
1
=
(
1
,
0
,
0
)
,
e
→
2
=
(
0
,
1
,
0
)
,
e
→
3
=
(
0
,
0
,
1
)
{\displaystyle {\vec {e}}_{1}=(1,0,0),{\vec {e}}_{2}=(0,1,0),{\vec {e}}_{3}=(0,0,1)}
(4)
Wtedy odpowiedniki wektorów występującej we wspomnianym wzorze na podwójny iloczyn wektorowy są w postaci:
a
→
=
e
→
i
,
b
→
=
e
→
j
,
c
→
=
e
→
k
{\displaystyle {\vec {a}}={\vec {e}}_{i},{\vec {b}}={\vec {e}}_{j},{\vec {c}}={\vec {e}}_{k}}
(5)
Wektory (5) możemy podstawić do wspomnianego powyżej wzoru, wtedy mamy:
e
→
i
×
(
e
→
j
×
e
→
k
)
=
e
→
j
⋅
(
e
→
i
⋅
e
→
k
)
−
e
→
k
⋅
(
e
i
→
⋅
e
→
j
)
{\displaystyle {\vec {e}}_{i}\times ({\vec {e}}_{j}\times {\vec {e}}_{k})={\vec {e}}_{j}\cdot ({\vec {e}}_{i}\cdot {\vec {e}}_{k})-{\vec {e}}_{k}\cdot ({\vec {e_{i}}}\cdot {\vec {e}}_{j})}
(6)
Ponieważ wektory (4) są wektorami bazy kartezjańskiej, zatem wedle wzoru (2) możemy napisać:
e
→
i
×
e
→
j
=
e
→
p
ϵ
p
i
j
{\displaystyle {\vec {e}}_{i}\times {\vec {e}}_{j}={\vec {e}}_{p}\epsilon _{pij}}
(7)
Jeśli wykorzystamy związek (7) , i że wektory (4) są ortonormalne, wtedy przy pomocy symboli Leviego-Civity i symboli Kroneckera równość wynikająca z (6) możemy napisać następująco:
ϵ
p
i
l
ϵ
l
j
k
=
δ
p
j
δ
i
k
−
δ
p
k
δ
i
j
{\displaystyle \epsilon _{pil}\epsilon _{ljk}=\delta _{pj}\delta _{ik}-\delta _{pk}\delta _{ij}}
(8)
Zastosowanie symbolu Leviego-Civity w przykładach
edytuj
Aby pokazać zastosowania symbolu Leviego-Civity udowodnijmy dla przykładu dwa poniższe twierdzenia:
∇
×
(
f
a
→
)
=
(
∇
f
)
×
a
→
+
f
(
∇
×
a
→
)
{\displaystyle \nabla \times (f{\vec {a}})=(\nabla f)\times {\vec {a}}+f(\nabla \times {\vec {a}})}
(9)
∇
(
a
→
×
b
→
)
=
b
→
(
∇
×
a
→
)
−
a
→
(
∇
×
b
→
)
{\displaystyle \nabla ({\vec {a}}\times {\vec {b}})={\vec {b}}(\nabla \times {\vec {a}})-{\vec {a}}(\nabla \times {\vec {b}})}
(10)
Dowód twierdzenia (9) opiera się na własnościach operatora ∇, czyli korzystamy w tym przypadku z twierdzenia o pochodnej iloczynu.
∇
×
(
f
a
→
)
=
ϵ
i
j
k
e
→
i
∂
∂
x
j
(
f
a
k
)
=
ϵ
i
j
k
e
→
i
∂
f
∂
x
j
a
k
+
f
ϵ
i
j
k
e
→
i
∂
∂
x
j
a
k
=
(
∇
f
)
×
a
→
+
f
(
∇
×
a
→
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \times (f{\vec {a}})&=\epsilon _{ijk}{\vec {e}}_{i}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}(fa_{k})\\&=\epsilon _{ijk}{\vec {e}}_{i}{\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}a_{k}+f\epsilon _{ijk}{\vec {e}}_{i}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}a_{k}\\&=(\nabla f)\times {\vec {a}}+f(\nabla \times {\vec {a}}).\end{aligned}}}
Dowód twierdzenia (10) też opiera się na własnościach operatora ∇, czyli korzystamy w tym przypadku z twierdzenia o pochodnej iloczynu, a także rozwinięcia iloczynu skalarnego poprzez wzór (3) .
∇
(
a
→
×
b
→
)
=
e
→
i
∂
∂
x
i
(
ϵ
j
k
l
e
→
j
a
k
b
l
)
=
e
→
i
e
→
j
ϵ
j
k
l
∂
∂
x
i
(
a
k
b
l
)
=
δ
i
j
ϵ
j
k
l
(
∂
a
k
∂
x
i
b
l
+
a
k
∂
b
l
∂
x
i
)
=
ϵ
i
k
l
∂
a
k
∂
x
i
b
l
+
ϵ
i
k
l
a
k
∂
b
l
∂
x
i
=
b
l
δ
j
l
ϵ
i
k
j
∂
a
k
∂
x
i
+
a
k
δ
j
k
ϵ
i
j
l
∂
b
l
∂
x
i
=
b
l
e
→
l
e
→
j
ϵ
i
k
j
∂
a
k
∂
x
i
+
a
k
e
→
k
e
→
j
ϵ
i
j
l
∂
b
l
∂
x
i
=
b
l
e
→
l
ϵ
j
i
k
e
→
j
∂
∂
x
i
a
k
−
a
k
e
→
k
ϵ
j
i
l
e
→
j
∂
∂
x
i
b
l
=
b
→
(
∇
×
a
→
)
−
a
→
(
∇
×
b
→
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\nabla ({\vec {a}}\times {\vec {b}})&={\vec {e}}_{i}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}(\epsilon _{jkl}{\vec {e}}_{j}a_{k}b_{l})\\&={\vec {e}}_{i}{\vec {e}}_{j}\epsilon _{jkl}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}(a_{k}b_{l})\\&=\delta _{ij}\epsilon _{jkl}({\frac {\partial a_{k}}{\partial x_{i}}}b_{l}+a_{k}{\frac {\partial b_{l}}{\partial x_{i}}})\\&=\epsilon _{ikl}{\frac {\partial a_{k}}{\partial x_{i}}}b_{l}+\epsilon _{ikl}a_{k}{\frac {\partial b_{l}}{\partial x_{i}}}\\&=b_{l}\delta _{jl}\epsilon _{ikj}{\frac {\partial a_{k}}{\partial x_{i}}}+a_{k}\delta _{jk}\epsilon _{ijl}{\frac {\partial b_{l}}{\partial x_{i}}}\\&=b_{l}{\vec {e}}_{l}{\vec {e}}_{j}\epsilon _{ikj}{\frac {\partial a_{k}}{\partial x_{i}}}+a_{k}{\vec {e}}_{k}{\vec {e}}_{j}\epsilon _{ijl}{\frac {\partial b_{l}}{\partial x_{i}}}\\&=b_{l}{\vec {e}}_{l}\epsilon _{jik}{\vec {e}}_{j}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}a_{k}-a_{k}{\vec {e}}_{k}\epsilon _{jil}{\vec {e}}_{j}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}b_{l}\\&={\vec {b}}(\nabla \times {\vec {a}})-{\vec {a}}(\nabla \times {\vec {b}}).\end{aligned}}}
ϵ
112
=
0
,
{\displaystyle \epsilon _{112}=0,}
z powodu powtarzającej się wartości indeksu (wystarczy wziąć
i
=
1
{\displaystyle i=1}
oraz
j
=
2
{\displaystyle j=2}
w powyższej definicji),
ϵ
123
=
1
,
{\displaystyle \epsilon _{123}=1,}
gdyż
(
1
,
2
,
3
)
{\displaystyle (1,2,3)}
jest parzystą permutacją
(
1
,
2
,
3
)
,
{\displaystyle (1,2,3),}
ϵ
312
=
1
,
{\displaystyle \epsilon _{312}=1,}
gdyż
(
3
,
1
,
2
)
,
{\displaystyle (3,1,2),}
jest parzystą permutacją
(
1
,
2
,
3
)
,
{\displaystyle (1,2,3),}
ϵ
213
=
−
1
,
{\displaystyle \epsilon _{213}=-1,}
gdyż
(
2
,
1
,
3
)
,
{\displaystyle (2,1,3),}
jest nieparzystą permutacją
(
1
,
2
,
3
)
.
{\displaystyle (1,2,3).}