Symetria figury

W języku potocznym używa się słów symetria (gr. συμμετρια) oraz symetryczny w odniesieniu do przedmiotu, obrazu itp. składającego się z dwóch części, z których każda jest lustrzanym odbiciem drugiej (w poziomie lub pionie), np. litery A, H, I, M, T, B, C, D, O oraz pary liter pq, bd są symetryczne w tym sensie.

W terminologii matematycznej termin symetria ma znaczenie istotnie szersze. Obejmuje też inne własności figur, np. symetria liter N, S, Z nie jest wprawdzie lustrzana, ale po obrocie o 180º figura wygląda identycznie. Ponadto symetrie w matematyce są ujmowane jako pewnego typu przekształcenia figur geometrycznych. Do symetrii zalicza się obroty o wielokrotności danego kąta (np. o 30º, 60º, 90º,…) oraz wielkie bogactwo symetrii ornamentów, np. rozet w gotyckich katedrach  .

Symetria jest to więc właściwość figury, bryły lub ogólnie dowolnego obiektu matematycznego (można mówić np. o symetrii równań), polegająca na tym, iż istnieje należące do pewnej zadanej klasy przekształcenie niebędące identycznością, które odwzorowuje dany obiekt na niego samego. Brak takiej właściwości nazywany jest asymetrią. W zależności od klasy dopuszczalnych przekształceń wyróżnia się rozmaite rodzaje symetrii. Tym samym terminem określa się nie tylko obiekty, ale też same przekształcenia.

Najważniejsze typy symetrii geometrycznych

Symetria osiowa

Dla figur płaskich i przestrzennych w zależności od rodzaju przekształcenia wyróżniana jest m.in.:

• symetria środkowa – przekształceniem jest odbicie zwierciadlane figury względem ustalonego punktu zwanego środkiem symetrii. Na płaszczyźnie symetria środkowa jest złożeniem dwóch symetrii osiowych o prostopadłych osiach (lub obrót o kąt 180 stopni), w przestrzeni jest złożeniem trzech symetrii płaszczyznowych o wzajemnie prostopadłych płaszczyznach symetrii.
• symetria osiowa – przekształceniem jest odbicie zwierciadlane figury względem zadanej prostej zwanej osią symetrii. Symetria osiowa występuje m.in. w trójkącie Sierpińskiego.
• symetria płaszczyznowa – przekształceniem jest odbicie zwierciadlane figury względem płaszczyzny zwanej płaszczyzną symetrii. Symetria płaszczyznowa występuje m.in. w piramidzie Sierpińskiego oraz kostce Mengera.
• symetria obrotowa (gwiaździsta) – przekształceniem jest na płaszczyźnie obrót figury wokół zadanego punktu o kąt będący podwielokrotnością kąta pełnego, a w przestrzeni wokół zadanej prostej (można wykazać, że musi być to środek masy i prosta przez niego przechodząca).
• symetria z obrotem (zwierciadlano-obrotowa) – na płaszczyźnie jest to złożenie symetrii względem prostej z obrotem o dowolny kąt wokół zadanego punktu. W przestrzeni jest złożeniem symetrii płaszczyznowej z obrotem wokół osi symetrii (symetria cylindryczna). [Niektóre pozycje książkowe podają, że w przestrzeni oś obrotu musi być prostopadła do płaszczyzny symetrii.]
• symetria sferyczna – przekształceniem jest dowolny obrót bryły wokół zadanego punktu. Własność tę posiada m.in. kula.
• symetria parzysta – złożenie parzystej liczby symetrii osiowych (na płaszczyźnie) lub płaszczyznowych (w przestrzeni). Przykładem jest symetria środkowa na płaszczyźnie (złożenie dwóch symetrii osiowych o prostopadłych osiach).
• symetria nieparzysta – złożenie nieparzystej liczby symetrii osiowych (na płaszczyźnie) lub płaszczyznowych (w przestrzeni).
• symetria ukośna – uogólnienie symetrii osiowej. Jeśli dane są dwie proste $k$ i $m$ przecinające się pod kątem α, oraz dany jest odcinek $AB,$ to symetria ukośna względem prostej $k,$ w kierunku prostej $m,$ polega na tym, że przez punkty $A$ i $B$ prowadzimy proste $a$ i $b$ równoległe do prostej $m,$ przecinające prostą $k$ odpowiednio w punktach $K1$ i $K2,$ i znajdujemy na nich punkty $A'$ i $B'$ w taki sposób, że odległość od punktu $A$ do $K1$ jest równa odległości od punktu $K1$ do $A'$ oraz analogicznie $|BK2|=|K2B'|.$

Wspólne ogólnienie symetrii środkowej, osiowej i płaszczyznowej

Symetria – przekształcenie $f$ przestrzeni euklidesowej E na siebie, mające pewną hiperpłaszczyznę H punktów stałych i spełniające warunek:

jeśli $x\notin H$ oraz $x'=f(x),$ to prosta $xx'$ jest prostopadła do hiperpłaszczyzny H oraz przecina tę hiperpłaszczyznę w połowie odcinka $xx'.$

W zależności od wymiaru hiperpłaszczyzny H otrzymujemy trzy osobno określone wyżej pojęcia:

• symetria środkowa (wówczas H jest punktem),
• symetria osiowa (H jest prostą),
• symetria płaszczyznowa (H jest płaszczyzną).

Przykłady

Trójkąt Sierpińskiego

Grupa symetrii kwadratu składa się z czterech obrotów o kąty 90º, 180º, 270º i o kąt 0º (czyli przekształcenie tożsamościowe) oraz czterech symetrii osiowych (względem osi poziomej, pionowej i dwóch przekątnych). Złożenie dowolnych dwóch z tych ośmiu przekształceń też należy do tej grupy, ale wynik złożenia zależy od kolejności wykonywania tych przekształceń, tzn. działanie składania ich nie jest przemienne, więc grupa symetrii kwadratu jest nieprzemienna.

W ogólnym ujęciu „symetryczność” może odnosić się także do obiektów niegeometrycznych, jak np. równania, czy macierze i dotyczyć innych własności niż relacje usytuowania w przestrzeni.

Przykłady: liczby palindromiczne, niektóre kwadraty magiczne, trójkąt Pascala, bliźniacze krzyżówki tautogramowe.

Poniższa macierz jest symetryczna (względem głównej przekątnej):

${\begin{bmatrix}2&1&3\\1&6&7\\3&7&9\end{bmatrix}}.$

Zbliżonym do symetrii pojęciem jest „samopodobieństwo”, które zakłada istnienie wzajemnie jednoznacznego przekształcenia części zbioru na cały zbiór. Najprostszy przykład to odwzorowanie zbioru liczb parzystych (dodatnich) w zbiór liczb naturalnych $x\to {\frac {1}{2}}x.$ Własność tę jednak mają również bardzo złożone zbiory, np. trójkąt Sierpińskiego, dywan Sierpińskiego i inne fraktale.

Zobacz też

• fraktal
• grupa obrotów
• symetria fizyczna

Bibliografia

• G. Birkhoff, Saunders Mac Lane: Przegląd algebry współczesnej. Wyd. 2. Warszawa: PWN, 1963.
• Stanisław Jaśkowski: Matematyka ornamentu. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1957.
• Hermann Weyl: Symetria. Warszawa: PWN, 1960.

Literatura dodatkowa

• Encyklopedia dla wszystkich. Matematyka, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa 2000.

Linki zewnętrzne

• Agnieszka Badeńska, Symetrie w matematyce, przyrodzie i sztuce, Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechniki Warszawskiej (MiNI PW), kanał „Archipelag Matematyki” na YouTube, 19 września 2017 [dostęp 2024-09-04].