Matemática elementar/Geometria plana/Triângulos

Tipos de triângulos

Classificação segundo a medida relativa dos lados

Um triângulo pode ser classificado de acordo com as medidas relativas de seus lados:

Um triângulo equilátero possui todos os lados congruentes. Pode-se verificar que um triângulo eqüilátero é também eqüiângulo, ou seja, possui todos os seus ângulos internos congruentes (e com medida 60°). Por este motivo, este tipo de triângulo é também um polígono regular.
Um triângulo isósceles possui pelo menos dois lados congruentes. Num triângulo isósceles, o ângulo formado pelos lados congruentes é chamado ângulo do vértice. Os demais ângulos denominam-se ângulos da base e, como se pode verificar, são congruentes. Note que os triângulos equiláteros também são isósceles.
Em um triângulo escaleno, as medidas dos três lados são diferentes. É possível mostrar que os ângulos internos de um triângulo escaleno também possuem medidas diferentes.

Denomina-se base o lado sobre qual apóia-se o triângulo. No triângulo isósceles, considera-se base o lado de medida diferente.

A seguir é mostrada a classificação de alguns triângulos de acordo com o critério anterior:

Exemplo de triângulo equilátero

Este triângulo é equilátero, pois possui os três lados congruentes. Em particular, como seus lados são dois a dois congruentes, ele é um triângulo isósceles. Pode-se observar que seus todos os seus ângulos internos medem 60°, e por isso ele é equiângulo.

Exemplo de triângulo isósceles

Neste triângulo há somente dois lados congruentes: os que têm medida $b$ . Por este motivo, o triângulo é isósceles, mas não é equilátero. Além disso, cada um destes dois lados forma um ângulo de medida $\alpha$ com a base do triângulo.

Exemplo de triângulo escaleno

Aqui, cada um dos lados tem um comprimento diferente dos demais. Assim, este é um triângulo escaleno. Observe ainda que nenhum par de ângulos internos tem a mesma medida.

Classificação de acordo com seus ângulos internos e externos em baixo

Um triângulo também pode ser classificado de acordo com seus ângulos internos:

Um triângulo retângulo possui um ângulo reto. Num triângulo retângulo, denomina-se hipotenusa o lado oposto ao ângulo reto. Os demais lados chamam-se catetos. Os catetos de um triângulo retângulo são complementares.
Um triângulo obtusângulo possui um ângulo obtuso e dois ângulos agudos.
Em um triângulo acutângulo, todos os três ângulos são agudos.

Exemplo de triângulo retângulo

Um ângulo reto, ou seja, um ângulo de 90º.

Exemplo de triângulo obtusângulo

Um ângulo obtuso e dois ângulos agudos.

Exemplo de triângulo acutângulo

Todos os três ângulos são agudos. Ou seja, menor que 90º

Soma dos ângulos internos

Na geometria euclidiana, de acordo com o teorema angular de Tales, a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é igual a dois ângulos retos (180° ou π radianos). Isso permite a determinação da medida do terceiro ângulo, desde que sejam conhecidas as medidas dos outros dois ângulos.

Soma dos ângulos externos

Existe também um corolário, que afirma que a medida de um ângulo externo de um triângulo é igual à soma das medidas dos ângulos internos não-adjacentes.

Exemplo: Se os ângulos internos de um triângulo forem: $60^{\circ },60^{\circ },60^{\circ }$ a resposta final será assim: Resolução: $x=60^{\circ }+60^{\circ }$ , $x=120^{\circ }$ . Porque o ângulo externo é a igual à soma dos ângulos internos duas vezes.

Relações de desigualdades entre lados e ângulos

1ª relação: Um ângulo externo de um triângulo é maior que qualquer um dos ângulos internos não-adjacentes.

2ª relação: Se dois lados de um triângulo tem medidas diferentes, ao maior lado opõe-se o maior ângulo e ao menor lado, opõe-se o menor ângulo.

3ª relação: Em todo triângulo, qualquer lado tem medida menor que a soma das medidas dos outros dois.

Área do triângulo

Existem várias formas de se expressar a área A de um triângulo:

Dadas a base b e a altura h: $A={\frac {b\cdot h}{2}}$
Dados dois lados a e b e o ângulo γ entre eles compreendido: $A={\frac {1}{2}}ab\sin {\gamma }$
Dados os três lados a, b e c: $A={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}$ , onde p é o semiperímetro (metade do perímetro). Essa fórmula é conhecida como fórmula de Heron.

Se o triângulo for equilátero de lado L, sua área pode ser obtida pela fórmula:

$A={\frac {L^{2}{\sqrt {3}}}{4}}$

Congruência

Critério LLL

Lado-Lado-Lado.

Critério LAL

Lado-Ângulo-Lado.

Critério ALA

Ângulo-Lado-Ângulo.

Critério LLAr

Lado-Lado-Ângulo reto.

Semelhança

Critério LLL

Segundo o critério LLL (lado-lado-lado), existe semelhança entre dois triângulos se os três lados de um são proporcionais aos três lados correspondentes do outro.

Critério LAL

Segundo o critério LAL (lado-ângulo-lado), existe semelhança entre dois triângulos se têm entre si dois pares de lados correspondentes proporcionais e se os ângulos por eles formados forem iguais.

Critério AA

Segundo o critério AA (ângulo-ângulo), existe semelhança entre dois triângulos se eles têm dois ângulos iguais.

Referências

Elementos de Geometria

Ver também

Wikipedia

A Wikipédia tem mais sobre este assunto:

Triângulo

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