Cone
Este artigo não cita fontes confiáveis. (Setembro de 2011) |
Em geometria, o cone é um sólido geométrico obtido quando se tem uma pirâmide cuja base é um polígono regular, o número de lados da base tende ao infinito e a medida de lado do polígono tende a zero.
Classificação
editarOs cones podem ser divididos em:
- Reto;
- Oblíquo;
- Equilátero.
Reto
editarO cone é dito reto quando a sua base é um círculo e a reta que liga o vértice superior ao centro da circunferência da sua base (isto é, o seu eixo) é perpendicular ao plano da base. Em um cone circular reto, cuja base é um círculo, a face lateral é formada por geratrizes (g), que são linhas retas que ligam o vértice superior a pontos constituintes da circunferência do círculo. O conjunto desses pontos, ou seja, a totalidade da circunferência, tem o nome de diretriz, porque é a direção que as geratrizes tomam para criar a superfície cônica. Pode-se dizer também que o cone é gerado por um triângulo retângulo que roda sobre um eixo formado por um dos catetos, no caso de ser um cone reto.
Oblíquo
editarDenomina-se oblíquo quando não é um cone reto, ou seja, quando o eixo não é perpendicular ao plano da base.
Equilátero
editarUm cone circular reto é um cone equilátero se a sua seção meridiana é uma região triangular equilátera e neste caso a medida da geratriz é igual à medida do diâmetro da base.
Cone de um espaço vetorial
editarUm subconjunto C do espaço vetorial E chama-se um cone quando, para todo elemento v pertencente a C e todo t > 0 real, tem-se que tv pertence a C.
Fórmulas
editarO volume, , de um cone de altura, , e base com raio, , é do volume do cilindro com as mesmas dimensões, ou seja:
O centro de massa (considerando que o cone possui densidade uniforme) está localizado no seu eixo a da distância da base ao eixo. A área da superfície de um cone é dada por:
onde, é a geratriz ou altura lateral do cone. O primeiro termo nesta fórmula, é a área da base, enquanto que o segundo termo é a área lateral. Ou seja, a área total é a área lateral mais a área da base:
Com uso de cálculo integral
editarAqui, obteremos as fórmulas do volume e área total do cone usando de técnicas de cálculo diferencial e integral. Um cone de altura e raio corresponde ao sólido de revolução que se obtém ao rotacionar a função:
em torno do eixo .
Volume
Notemos que a área da seção circular do cone é dada por:
Para um deslocamento infinitesimal tem-se o incremento de volume:
Então, integrando de a obtemos o volume do cone:
Área total
O cálculo da área de superfície total do cone se divide em duas partes: o cálculo da área da base e o cálculo da área lateral. A base é um círculo de área:
Agora, para obtermos a área da superfície lateral, vamos empregar um raciocínio semelhante ao do cálculo do volume. Primeiramente, observamos que um deslocamento infinitesimal corresponde a um deslocamento de comprimento de linha sobre a reta . Pelo Teorema de Pitágoras temos que , ou seja:
Considerando a rotação do segmento em torno do eixo , temos que o incremento de área lateral infinitesimal é dada por:
Substituindo e em função de e , obtemos:
Integrando de a , temos:
Somando-se as áreas da base e lateral temos a área total:
onde, .
Para cones equiláteros
editarA área da base do cone é:
Pelo Teorema de Pitágoras temos que , logo , assim:
Como o volume do cone é obtido por do produto da área da base pela altura, temos:
Similarmente, a área lateral é dada por:
e, a área total por:
Ver também
editarLigações externas
editar- (em inglês) Volume de um cone truncado elíptica