Convergência pontual

Em matemática, em especial na análise real e na análise funcional, a convergência pontual é um dos muitos conceitos que existem para convergência de uma seqüência de funções.

Algumas vezes a convergência pontual é chamada de convergência ponto a ponto.

Um conceito mais forte que convergência pontual é convergência uniforme. Um conceito mais fraco é convergência quase-sempre.

Definição para seqüências de funções reais

Seja $D\,$ um conjunto qualquer e $f_{n}:D\to \mathbb {R} \,$ uma seqüência de funções que compartilham do mesmo domínio $D\,$.

Diz-se que $f_{n}(x)\,$ converge pontualmente para uma função $f:D\to \mathbb {R} \,$ se:

• $\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)=f(x),$ para cada $x\in D\,$

Exemplos

• $f_{n}(x)={\frac {x}{n}}\,$ converge pontualmente para $f(x)=0\,$
• $f_{n}(x)=n\sin \left({\frac {x}{n}}\right)$ converge pontualmente para $f(x)=x$
• $f_{n}(x)={\frac {|x|^{n}}{1+|x|^{n}}}$ que converge pontualmente para $f(x)=\left\{{\begin{array}{ll}0,&|x|<1\\{\frac {1}{2}},&|x|=1\\1,&|x|>1\end{array}}\right.$

Definição geral

Seja $f_{n}:S\to X\,$ uma seqüência de funções com contra-domínio em um espaço topológico X com uma topologia $\tau \,$. Então a seqüência converge pontualmente para uma função $f:S\to X\,$ quando, para todo x, a seqüência $f_{n}(x)\,$ converge para f(x). Isso equivale a escrever:

$\forall x\in S\ \forall A\in \tau ,\ (f(x)\in A\rightarrow \exists N\in \mathbb {N} ,\ (n>N\rightarrow f_{n}(x)\in A))\,$.

Esta definição é equivalente a dizer que, na topologia produto de $X^{S}\,$, a seqüência $f_{n}\,$ converge para f.