Distribuição binomial negativa

A distribuição binomial negativa ou distribuição de Pascal é uma distribuição de probabilidade discreta. Esta distribuição indica o número de tentativas necessárias para obter k sucessos de igual probabilidade θ ao fim de n experimentos de Bernoulli, sendo a última tentativa um sucesso. A sua função de probabilidade é dada por:

Distribuição Binomial Negativa
Gráfico da função densidade de probabilidade para n=10 e diferentes valores de p
Gráficos da função de distribuição acumulada para n=10 e diferentes valores de p
Parâmetros	$n\in \mathbb {N} ,n>0,$ número de falhas até o experimento parar $p\in \mathbb {R} ,0<p<1,$ probabilidade de sucesso em cada experimento
Suporte	$k\in \{0,1,...\}$ número de sucessos
f.d.p.	${k+r-1 \choose k}(1-p)^{n}p^{k}$
f.d.a.	$1-I_{p}(k+1,n)$, a função beta incompleta regularizada
Média	${\frac {np}{1-p}}$
Moda	$\lfloor {\frac {p(n-1)}{1-p}}\rfloor$
Variância	${\frac {pn}{(1-p)^{2}}}$
Obliquidade	${\frac {1+p}{\sqrt {pn}}}$
Curtose	${\frac {6}{n}}+{\frac {(1-p)^{2}}{pn}}$
Função Geradora de Momentos	$\left({\frac {1-p}{1-pe^{t}}}\right)^{n}$ para $t<-log(p)$
Função Característica	$\left({\frac {1-p}{1-pe^{it}}}\right)^{n}$ para $t\in \mathbb {R}$

$\!\ b(n;k,\theta )={n-1 \choose k-1}\theta ^{k}(1-\theta )^{n-k},n=k,k+1,...$

Numa linha de montagem, 10% das peças são defeituosas. A probabilidade de a quinta peça que se analisa ser a segunda defeituosa é

$b(5,2,0.1)={4 \choose 1}(0.1)^{2}(0.9)^{3}=0.02916$

OBS.: A distribuição geométrica é fortemente relacionada com a distribuição binomial negativa. Naquela, queremos o número de tentativas para obter o primeiro sucesso, i.e., o tempo de espera até que se tenha o evento de importância ou sucesso.

Ver também

• Distribuição binomial
• Distribuição de Poisson